Très urgent calcul vectoriel et produit scalaire

Bonjour,
J'ai un devoir de math pour lundi et l'exercice 2 me pose problème, il s'agit d'une démonstration. Ma professeur nous a dit de nous inspiré de la résolution du théorème d'al kashi. Nous devons démontrer avec ces vecteurs. J'ai mis un lien pour l'image qui nous montre les conseils de notre professeur. Merci d'avance

Voici l'énoncé :

Soient ABCD quatre points de l'espace et soient MNP Q les milieux respectifs des
segments AB, BC, CD et DA. Démontrer que :

                      2(|MP|² + |NQ|²) = |AC|² + |BD|²

https://photos.app.goo.gl/b3nXVC4br5in8RqG9

@matt88888 Bonjour,

As tu utilisé la relation de Chasles ?

$MP→=MQ→+QP→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}$
de même :
$NQ→=....\overrightarrow{NQ}= ....$

Puis $∣MP→∣2=∣MQ→∣2+2MQ→.QP→+∣QP→∣2\shortmid\overrightarrow{MP}\shortmid^2=\shortmid\overrightarrow{MQ}\shortmid^2+2\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{QP}+\shortmid\overrightarrow{QP}\shortmid^2$

Tu dois démontrer que la droite $(Q P)$ est parallèle à la droite $(A C)$ donc que $QP=AC2QP=\dfrac{AC}{2}$ .
Analyse similaire avec les droites $(M N)$ et $(A C)$ .

Je te laisse poursuivre.

Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.

@Noemi merci de ta réponse mais je ne sais pas si cela sera correct aux yeux de ma professeur, elle nous demande de commencer par une combinaison de vecteur, ce que j'ai du mal à comprendre.

MP = ...AC + ...DB

pareil pour NQ, mais je ne comprends pas où cela va me mener. Ma professeur est maintenant injoignable et est de toute façon exaspérée de toute mes question.

Bonjour,

En suivant les indications du prof ...

MP = ...AC + ...DB

En vecteurs ...

MP = MB + BC + CP
MP = (1/2)AB + (1/2)BC + (1/2)BC + (1/2)CD
MP = (1/2)(AB + BC) + (1/2)(BC + CD)
MP = (1/2)AC + (1/2)BD
MP = (1/2)AC - (1/2)DB

NQ = ...AC + ...DB

En vecteurs ...

NQ = NB + BA + AQ
NQ = (1/2).CB + (1/2)BA + (1/2)BA + (1/2)AD
NQ = (1/2).(CB + BA) + (1/2)(BA + AD)
NQ = (1/2)CA + (1/2)BD
NQ = -(1/2)AC - (1/2)DB

MP² = [(1/2)AC - (1/2)DB]²
MP² = 1/4 AC² + 1/4 DB² - (1/2).AC.DB

NQ² = [-(1/2)AC - (1/2)DB]²
NQ² = 1/4 AC² + 1/4 DB² + (1/2).AC.DB

MP² + NQ² = 1/4 AC² + 1/4 DB² - (1/2).AC.DB + 1/4 AC² + 1/4 DB² + (1/2).AC.DB
MP² + NQ² = 1/2 AC² + 1/2 DB²
2(MP² + NQ²) = AC² + DB²
2(MP² + NQ²) = AC² + BD²

Penser à mettre les flèches sur les vecteurs et les modules là où il faut.

Et le tout à comprendre et pouvoir refaire seul ... bien entendu.

@matt88888 Bonjour,

Tu as la réponse dans le post précédent.
Si tu ne comprends pas une partie, précise le.