à l'aide j'ai besoin d'aide pour faire 5^6n+1 + 5^3n+2 modulo 7 svp svp congruences


  • K

    à l'aide j'ai besoin d'aide pour faire 5^6n+1 + 5^3n+2 modulo 7 svp svp congruences


  • N
    Modérateurs

    @Kaez824 Bonjour (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

    Attention, le multipost est interdit.
    Une seule question à cet exercice ?
    As-tu cherché les restes de 56n5^{6n}56n et 53n5^{3n}53n pour une division par 7 ?


  • K

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  • K

    @Noemi

    bonjour et merci de votre réponse, corrigez moi si c faux car je vais vous écrire mon raisonnement
    5^6n c'est (5^6)^n
    5^6 congrue à 1 modulo 7 donc (5^6)^n congrue à 1^n modulo donc à 1
    ainsi 5^6n+1 congrue à 5 modulo 7 car le +1 = *5

    ensuite 5^3n c'est (5^3)^n
    5^3 congrue à 6 modulo 7 donc (5^3)^n congrue à 6^n modulo 7
    le +2 de 3^3n+2 =5^2 congrue à 4 modulo 7
    on fait alors le produit des 2 congrues càd 5^3n5^2 congrue à 6^n*4= 24^n congrue à 3 modulo 7
    On ajoute les deux congruences ce qui nous donne 3+5 = 8 congrue à 1 modulo 7


  • mtschoon

    Bonjour
    @Kaez824 , tes écritures sont confuses...

    Tu as écrit

    5^6n+1 + 5^3n+2 modulo 7

    Si tu ne sais pas écrire en exposant, mets des parenthèses et écris
    5^(6n+1) + 5^(3n+2) modulo 7 , si c'est bien de cela dont-il s'agit.

    En bref, je pense qu'il s'agit de 56n+1+53n+2 [7]5^{6n+1}+5^{3n+2}\ [7]56n+1+53n+2 [7]

    J'imagine qu'il y a des questions précédentes qui t'induisent à faire celle-là.

    Je regarde ta démarche.

    56n+1=(56)n×51=(56)n×55^{6n+1}=(5^6)^n\times 5^1=(5^6)^n\times 556n+1=(56)n×51=(56)n×5

    56≡1 [7]5^6\equiv 1\ [7]561 [7] donc (56)n≡1n [7](5^6)^n\equiv 1^n\ [7](56)n1n [7] donc (56)n≡1 [7](5^6)^n\equiv 1\ [7](56)n1 [7]
    C'est ce que tu as fait.

    Ensuite, si le +1 est en exposant, tu obtiens le bon résultat mais ta démarche n'est pas claire.

    5≡5 [7]5\equiv 5\ [7]55 [7]

    En utilisant la propriété du produit :
    56n+1≡1×5 [7]5^{6n+1}\equiv 1\times 5\ [7]56n+11×5 [7]
    56n+1≡5 [7]5^{6n+1}\equiv 5\ [7]56n+15 [7]

    C'est encore très confus pour 53n+25^{3n+2}53n+2

    53n+2=(53)n×525^{3n+2}=(5^3)^n\times 5^253n+2=(53)n×52

    53≡6 [7]5^3\equiv 6\ [7]536 [7]

    Tu peux aussi écrire : 53≡−1 [7]5^3\equiv -1\ [7]531 [7] donc (53)n≡(−1)n [7](5^3)^n\equiv (-1)^n\ [7](53)n(1)n [7]

    52≡4 [7]5^2\equiv 4\ [7]524 [7]

    Donc, avec la propriété du produit,
    53n+2≡4(−1)n [7]5^{3n+2}\equiv 4(-1)^n \ [7]53n+24(1)n [7]

    Tu discutes suivant la parité de n et tu conclus sur la somme demandée.


  • K

    @mtschoon bonjour merci pour votre réponse, il faut donc que j'écrive que si n pair alors 5^(3n+2) est congrue à 4 modulo 7 car (-1)^(n)= 1 donc en faisant la somme des 2 congruences trouvées je trouve 5+4=9 soit 2 modulo 7
    Et si n impair on a une congruence de -4 modulo 7 car (-1)^(n)=-1 du fait de n impair et donc on trouve 5+(-4)= 1 modulo 7
    ça veut dire que je dois mettre que le reste varie en fonction de n ?


  • mtschoon

    @Kaez824 ,

    Oui, le reste dépend de la parité de n

    Tes deux cas me semblent exacts.


  • K

    @mtschoon et n reste tjrs un entier naturel ? Je pose bcp de questions parce que je compte sur ce dm pour remonter une note pourrie en contrôle


  • mtschoon

    @Kaez824 ,
    J'ignore comment a été formule l'énoncé, mais n effectivement est un entier naturel


  • K

    @mtschoon ok parfait merci


  • mtschoon

    @Kaez824 , de rien et bon DM !


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