à l'aide j'ai besoin d'aide pour faire 5^6n+1 + 5^3n+2 modulo 7 svp svp congruences

@Kaez824 Bonjour (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Attention, le multipost est interdit.
Une seule question à cet exercice ?
As-tu cherché les restes de $5^{6n}$ et $5^{3n}$ pour une division par 7 ?

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@Noemi

bonjour et merci de votre réponse, corrigez moi si c faux car je vais vous écrire mon raisonnement
5^6n c'est (5^6)^n
5^6 congrue à 1 modulo 7 donc (5^6)^n congrue à 1^n modulo donc à 1
ainsi 5^6n+1 congrue à 5 modulo 7 car le +1 = *5

ensuite 5^3n c'est (5^3)^n
5^3 congrue à 6 modulo 7 donc (5^3)^n congrue à 6^n modulo 7
le +2 de 3^3n+2 =5^2 congrue à 4 modulo 7
on fait alors le produit des 2 congrues càd 5^3n5^2 congrue à 6^n*4= 24^n congrue à 3 modulo 7
On ajoute les deux congruences ce qui nous donne 3+5 = 8 congrue à 1 modulo 7

Bonjour
@Kaez824 , tes écritures sont confuses...

Tu as écrit

5^6n+1 + 5^3n+2 modulo 7

Si tu ne sais pas écrire en exposant, mets des parenthèses et écris
5^(6n+1) + 5^(3n+2) modulo 7 , si c'est bien de cela dont-il s'agit.

En bref, je pense qu'il s'agit de $5^{6n+1}+5^{3n+2}\ [7]$

J'imagine qu'il y a des questions précédentes qui t'induisent à faire celle-là.

Je regarde ta démarche.

$56n+1=(56)n×51=(56)n×55^{6n+1}=(5^6)^n\times 5^1=(5^6)^n\times 5$

$[7]5^6\equiv 1\ [7]$ donc $[7](5^6)^n\equiv 1^n\ [7]$ donc $[7](5^6)^n\equiv 1\ [7]$
C'est ce que tu as fait.

Ensuite, si le +1 est en exposant, tu obtiens le bon résultat mais ta démarche n'est pas claire.

$[7]5\equiv 5\ [7]$

En utilisant la propriété du produit :
$[7]5^{6n+1}\equiv 1\times 5\ [7]$
$[7]5^{6n+1}\equiv 5\ [7]$

C'est encore très confus pour $5^{3n+2}$

$53n+2=(53)n×525^{3n+2}=(5^3)^n\times 5^2$

$[7]5^3\equiv 6\ [7]$

Tu peux aussi écrire : $[7]5^3\equiv -1\ [7]$ donc $[7](5^3)^n\equiv (-1)^n\ [7]$

$[7]5^2\equiv 4\ [7]$

Donc, avec la propriété du produit,
$[7]5^{3n+2}\equiv 4(-1)^n \ [7]$

Tu discutes suivant la parité de n et tu conclus sur la somme demandée.

@mtschoon bonjour merci pour votre réponse, il faut donc que j'écrive que si n pair alors 5^(3n+2) est congrue à 4 modulo 7 car (-1)^(n)= 1 donc en faisant la somme des 2 congruences trouvées je trouve 5+4=9 soit 2 modulo 7
Et si n impair on a une congruence de -4 modulo 7 car (-1)^(n)=-1 du fait de n impair et donc on trouve 5+(-4)= 1 modulo 7
ça veut dire que je dois mettre que le reste varie en fonction de n ?

@Kaez824 ,

Oui, le reste dépend de la parité de n

Tes deux cas me semblent exacts.

@mtschoon et n reste tjrs un entier naturel ? Je pose bcp de questions parce que je compte sur ce dm pour remonter une note pourrie en contrôle

@Kaez824 ,
J'ignore comment a été formule l'énoncé, mais n effectivement est un entier naturel

@mtschoon ok parfait merci

@Kaez824 , de rien et bon DM !