Arithmétiques: critères de divisibilité et nombre premier

Soient a et b deux entiers. On pose A=11a + 2b et B=18a + 5b.
**1.**Démontre que si l'un des deux nombres A ou B est divisible par 19, il en est de même pour l'autre.
**2.**Démontrer que si a et b sont premiers entre eux, alors A et B ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que 1 et 19.

@Darius Bonsoir, (Marque de politesse à ne pas oublier !!

Question 1 : 5A - 2B = 19a
donc 19 divise 5A-2B
Si A est divisible par 19, alors 2B est divisible par 19
Comme 2 et 19 sont premiers entre eux, tu déduis que B ....

Applique le même raisonnement avec :
Si B est divisible par 19, ....

Je te laisse poursuivre.

@Noemi merci pour le raisonnement surtout pour le rappelle des bonnes manières. Désolé

@Noemi et pour la question 2 s'il vous plaît...?

@Darius

En prenant C diviseur de A et B,
On peut écrire que C divise 5A-2B c'est à dire 19a, mais aussi 18A-11B soit -19b
(car 18A-11B = -19b)
Donc C divise 19

a et b étant premier entre eux, en utilisant Bezout , il existe deux entiers $u$ et $v$ tel que
$u a + v b = 1$
Tu peux multiplier cette égalité par 19 et conclure en utilisant les relations précédentes.

@Noemi merci M/Mme , pas trop évident, je cherche à comprendre ce raisonnement. Merci encore, cet exercice ça fait pratiquement une semaine que j'essaie de le faire sans trouver un raisonnement venant de moi.

@Noemi Bonjour, j'ai fais des calculs comme indiqué er j'ai obtenu ceci à la fin:
19(-b+1)|B et 19(-b+1)|A
19(a+1)|A et 19(a+1)|B . Je ne connais pas la conclusion

@Darius
A partir de $u a + v b = 1$
$19 u a + 19 v b = 19$
$u (5 A - 2 B) + (- v) (18 A - 11 B) = 19$

Comme C divise 19, alors C = 1 ou 19.

@Noemi Merci!

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