Déterminer un polynôme de second degré

Bonjour.
Je voudrais savoir comment déterminer un polynôme de second degré dont p(0)=3 et ses deux racines sont -2 et 3/2 ?

@lotus21 Bonjour,

Si -2 est une racine du polynôme, alors $x + 2$ est un facteur du polynôme.
Si $32\dfrac{3}{2}$ est une racine du polynome, alors ....
le polynôme peut s'écrire $p (x) = a (x + 2) (x . . .)$

Pour déterminer $a$ , tu utilises $p (0) = 3$ .

Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.

@Noemi a dit dans Déterminer un polynôme de second degré :

Pour déterminer aaa, tu utilises p(0)=3p(0)=3p(0)=3.

Bonjour une autre methode consistera a passer par lasomme des deux racine
on sait que $x1+x2=−bax_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$ tu obtiens $\frac{b}{a} = - \frac{1}{2}$
ce qui doonne l'equation $- 2 b + a = 0$ tu connais $b$ tu determines $a$

@loicstephan

Une erreur de signe. Quelle est la valeur de $b$ ?

@Noemi a dit dans Déterminer un polynôme de second degré :

Une erreur de signe. Quelle est la valeur de b ?

partant de la formule de la somme des deux racines on a bien
$x1+x2=−bax_1+ x_2= − \frac{b}{a}$ or la somme des ses racines (racinnes donnees dans la consigne) donne bien $\frac{3}{2}=\frac{-4+3}{2}=- \frac{1}{2}$
soit $\frac{1}{2}=− \frac{b}{a}$
je ne vois pas d'erreur de signe madame ! par developpement de l'eexpression factorisée elle obtiendra $\frac{1}{2}$

@loicstephan

La méthode est correcte.
Pour $p (x)$ de la forme $p(x)=ax^2+bx+c$
A partir de $p (0) = 3$ , on déduit $c = 3$

A partir de $x1×x2=ca=−3x_1\times x_2= \dfrac{c}{a}=-3$ , on déduit $a = - 1$

puis avec $x1+x2=−ba=−12x_1+x_2= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{2}$ , on déduit $-\dfrac{1}{2}$ .

Soit $-x^2-\dfrac{1}{2}x+3$ .

Avec l'autre méthode :
Si $- 2$ est une racine du polynôme, alors $(x + 2)$ est un facteur du polynôme.
Si $32\dfrac{3}{2}$ est une racine du polynôme, alors $(x−32)(x-\dfrac{3}{2})$ est un facteur du polynôme.
Le polynôme peut s'écrire $p(x)=a(x+2)(x−32)p(x)=a(x+2)(x-\dfrac{3}{2})$

Pour déterminer $a$ , on utilise $p (0) = 3$
Soit $- 3 a = 3$ ; d'ou $a = - 1$
$p(x)=−(x+2)(x−32)p(x)=-(x+2)(x-\dfrac{3}{2})$ en développant
$-x^2-\dfrac{1}{2}x+3$

@loicstephan a dit dans Déterminer un polynôme de second degré :

je ne vois pas d'erreur de signe madame ! par developpement de l'eexpression factorisée elle obtiendra b=12b= \frac{1}{2}b=21

ell ne doit donc pas proceder par developpement de l'expression factorisee tant qu'elle n'a pas la valeur de a qui pourrait changer tous les signes! l'ideal c'est la methode des relations entres les solution !
qu'en pensez vous ?

Ce message a été supprimé !

@loicstephan

Pour moi, les deux méthodes sont équivalentes. Peut-être voir qu'elle est la plus rapide et/ou la moins source à erreur.

Bonjour,

Je crois qu'il n'y a pas de bonnes ou mauvaises méthodes .
Il y a des méthodes différentes, c'est tout.

Dans la mesure où deux points ont des ordonnées nulles, j'imagine (?) que le professeur qui a donné le sujet a pensé à la méthode par factorisation.

Vu que deux méthodes sont données, j'en mets une troisième.
Pas plus courte, mais qui a l'avantage d'être générale, applicable quelles que soient les coordonnées des points donnés.

J'appelerais ça la "mise en équations de l'énoncé":
système de 3 équations du premier degré à 3 inconnues.

$p(x)=ax^2+bx+c$

$p (0) = 3$ <=> $c=3\boxed{c=3}$ donc $p(x)=ax^2+bx+3$

$p (- 2) = 0$ <=> $4 a - 2 b + 3 = 0$ <=> $2b=4a+3\boxed{2b=4a+3}$

$p(32)=0p(\dfrac{3}{2})=0$ <=> $94a+32b+3=0\dfrac{9}{4}a+\dfrac{3}{2}b+3=0$ <=> $3a+2b+4=0\boxed{3a+2b+4=0}$

Substitution : en remplaçant $2 b$ par $4 a + 3$ dans la dernière équation, on trouve $a = - 1$ puis $b=−12b=-\dfrac{1}{2}$

Conclusion :

$p(x)=−x2−12x+3\boxed{p(x)=-x^2-\dfrac{1}{2}x+3}$

Graphique