Ex difficile(raisonnement par récurence)

Soient x>0 et y>0 tq x+y=1
Mq : (1+1/x^n)(1+1/y^n)>=(1+2^n)²

J'ai besoin d'aide
Et merci d'avance.

@ASMAE Bonsoir (marque de politesse à ne pas oublier !!!!)

L'énoncé est-il complet ?

@Noemi bonsoir (j'suis désolé)
Oui, il ne manque rien.

@ASMAE

Vérifie la relation pour $n = 1$ .

C'est déjà verifié
Mais je suis bloqué dans la deuxième partie de la récurence (héridité)
J ne sais rien faire ....

Bonjour,

@ASMAE , es-tu sur(e) de ton énoncé?

Par souci "d'équilibre" entre les deux membres, j'aurais plutôt écrit :
$(1+1xn)(1+1yn)≥(1+12n)2\biggr(1+\dfrac{1}{x^n}\biggr)\biggr(1+\dfrac{1}{y^n}\biggr)\ge \biggr(1+\dfrac{1}{2^n}\biggr)^2$

Merci de vérifier.

@mtschoon Bonsoir
J'ai verifié mais c'est le même énoncer que j'ai publié hier
Il n y a pas de faute.
J'ai envie de prendre une photo de l'exercice, mais c'est dommage je peux pas ‍️

@ASMAE , je te fais confiance sur ce que tu dis bien sûr, mais c'est bizarre...

La formule que je t'ai indiquée se démontre très bien (et sans récurrence).
Je t'indiquerai la démonstration si tu le souhaites.

@mtschoon Oui avec plaisir .
Écris moi la démonstration de l'expression que tu penses qu'elle est facile .
Et merci d'avance.

@ASMAE ,

Je te donne quelques pistes pour prouver la formule que je t'ai proposée

$\gt 0$ , $\gt 0$ et $x + y = 1$ donc $0<x<10\lt x\lt 1$ et $0<y<10\lt y\lt 1$
Tu déduis $1x>1\dfrac{1}{x}\gt 1$ et $1y>1\dfrac{1}{y}\gt 1$
d'où

$(1x)n≥1(\dfrac{1}{x})^n\ge 1$ et $(1y)n≥1(\dfrac{1}{y})^n\ge 1$
(Je mets des inégalités au sens large pour le cas où n vaudrait 0 ,car j'ignore ce que te dit l'énoncé ).

d'où $1+(1x)n≥21+(\dfrac{1}{x})^n\ge 2$ et $1+(1y)n≥21+(\dfrac{1}{y})^n\ge 2$
En mulltipliant
$(1+(1x)n)(1+(1y)n))≥22\biggr(1+(\dfrac{1}{x})^n\biggr)\biggr(1+(\dfrac{1}{y})^n)\biggr)\ge 2^2$

Or, $(12)n≤1(\frac{1}{2})^n\le 1$ donc $1+(12)n≤21+(\frac{1}{2})^n\le 2$

d'où $(1+(12)n)2≤22(1+(\frac{1}{2})^n)^2\le 2^2$

Tu peux écrire : $22≥(1+(12)n)22^2 \ge (1+(\frac{1}{2})^n)^2$

Le relation $≥\ge$ est transitive donc :
$(1+(1x)n)(1+(1y)n)≥22\biggr(1+(\dfrac{1}{x})^n\biggr)\biggr(1+(\dfrac{1}{y})^n\biggr)\ge 2^2$ et $22≥(1+(12)n)22^2 \ge (1+(\frac{1}{2})^n)^2$ permettent de conclure :
$(1+(1x)n)(1+(1y)n)≥(1+(12)n)2\biggr(1+(\dfrac{1}{x})^n\biggr)\biggr(1+(\dfrac{1}{y})^n\biggr) \ge (1+(\frac{1}{2})^n)^2$

cela peut s'écrire :

$(1+1xn)(1+1yn)≥(1+12n)2\biggr(1+\dfrac{1}{x^n}\biggr)\biggr(1+\dfrac{1}{y^n}\biggr)\ge \biggr(1+\dfrac{1}{2^n}\biggr)^2$

Evidemment, cette démonstration est relative à ma proposition mais pas à la formule de ton énoncé...

@mtschoon
Merci