Limites difficiles des fonctions

Bonjour , je trouve une difficulté à calculer la limite suivante : lim(x-->0) (tanx-sinx)/(sinx(cos2x-cosx))
( j'ai utilisé aussi la règle de l'hôpital mais je trouve toujours une forme indéterminée) ; pourriez-vous m'aider svp et merci d'avance !

@ABCD-EFGH Bonjour,

Une piste en utilisant les développements limités en 0 :
$\approx x-\dfrac{x^3}{6}$

$x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}$

$tanx≈x+x33tanx\approx x+\dfrac{x^3}{3}$

Avec la règle du génial Marquis ... appliquée à bon escient.

On commence par triturer la relation pour la simplifier.

(tanx-sinx)/(sinx(cos(2x)-cosx))
= sin(x)(1/cos(x) - 1)/(sinx(cos(2x)-cosx))
= (1 - cos(x))/(cos(x)(cos(2x)-cosx))
= (1 - cos(x))/(cos(x)*(2cos²(x)-1-cosx))
= (1 - cos(x))/(2cos³(x)-cos²(x)-cosx) est une indétermination du type 0/0 --> Lhospital

lim(x--> 0) sin(x)/(-6cos²(x).sin(x) + 2cos(x).sin(x) + sin(x))
= lim(x--> 0) 1/(-6cos²(x) + 2cos(x) + 1) = 1/(-6+2+1) = -1/3

Vive le Marquis... dont la règle n'est plus enseignée (donc interdite d'emploi) en Secondaire.

Bonjour,

Et si on veut, sans Lhospital et sans DL :

(tanx-sinx)/(sinx(cos(2x)-cosx))
= sin(x)(1/cos(x) - 1)/(sinx(cos(2x)-cosx))
= (1 - cos(x))/(cos(x)(cos(2x)-cosx))
= (1 - cos(x))/(cos(x)*(2cos²(x)-1-cosx))
= (1 - cos(x))/(2cos³(x)-cos²(x)-cosx)
=(1 - cos(x))/(cos³(x)-cos²(x) + cos³(x)-cosx)
=(1 - cos(x))/(cos²(x)(cos(x)-1) + cos(x)(cos²(x) - 1))
=(1 - cos(x))/(cos²(x)(cos(x)-1) + cos(x)(cos(x) - 1)(cos(x)+1))
=1/(-cos²(x) - cos(x).(cos(x)+1))
= - 1/(2cos²(x) + cos(x))

lim(x--> 0)[ - 1/(2cos²(x) + cos(x)] = -1/(2+1) = -1/3

Merci ! merci infiniment Black-Jack et Noemi pour votre aide , c'est vraiment génial , Black-Jack j'ai bien compris la méthode et les étapes suivies , par contre , désolé Noemi mais j'ai pas compris la démarche que vous m'avez recommandé .

@ABCD-EFGH

Pour la méthode avec les approximations des fonctions au voisinage de 0, tu remplaces chaque terme par son approximation et tu simplifies, tu trouves pour résultat de la limite -1/3 quand $x$ tend vers 0.

Il faut que ces relations soient dans ton cours.

@Noemi merci beaucoup , grâce à vous, c'est l'occasion pour moi de découvrir cette nouvelle notion qui est le développement limité des fonctions usuelles afin de faciliter calcul de certaines limites difficiles comme celle ci , mais pour cos(2x) , une idée svp sur son développement limité .

tanx - sinx ≈ x^3/2
sinx(cos2x - cosx) ≈
(x - x^3/6)[(...) - (1 - x^2/2)]
Puis , la règle de l'hôpital , c'est ça?

@ABCD-EFGH

Tu simplifies :
$x32(x−x36)(−3x22)\dfrac{\dfrac{x^3}{2}}{(x-\dfrac{x^3}{6})(\dfrac{-3x^2}{2})}$

= $x32−3x32+x52\dfrac{\dfrac{x^3}{2}}{\dfrac{-3x^3}{2}+\dfrac{x^5}{2}}$

= $1−3+x22\dfrac{1}{-3+\dfrac{x^2}{2}}$

Puis la limite avec $x$ qui tend vers 0.

Bonjour,

Seulement une réflexion, en regardant ce topic.

@ABCD-EFGH , si tu es en Terminale (programmes français ? ) la règle de l'Hospital, comme déjà indiqué, n'est pas autorisée, ni les développements limités (vu qu'il faut connaître leurs propriétés pour ne pas faire n'importe comment...).

Alors, la méthode sans DL et sans l'Hospital, est celle qui est conforme au progamme de Terminale français ( et qui convient pour un devoir et pour le Bac).

Merci Noemi pour l'explication, et oui vous avez raison mtschoon qu'il ne faut pas utiliser ces deux méthodes, mais je crois que ce sont des astuces efficaces pour être sûr que le calcul de la lim est bien correct .

Bonjour @ABCD-EFGH ,

Tu as compris les "nuances" C'est très bien.
Mais,,,, il ne s'agit pas d'astuces !
Il s'agit de théories qui se démontrent, s'apprennent avec les conditions d'utilisation, en postBac.
Alors, les utiliser sans savoir, est discutable...

Si tu es curieux sur le développements limités par exemple, je te mets un lien.
Ce n'est pas du tout pour apprendre (chaque chose en son temps !) , seulement pour que tu saches de quoi il s'agit véritablement.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité

Bonne consultation éventuelle et surtout bon travail.

@mtschoon je vous remercie et vous suis très reconnaissant, merci !