Equation difficile avec racine cubique

Bonsoir, je suis de retour mathforum, mon seul refuge pour les problèmes mathématiques, bon le problème est le suivant : résoudre l'équation (E) : ∛(1-x) - ∛x - ∛(1-2x) = 0
Avec une démarche je vous serais très reconnaissant et merci d'avance.

@ABCD-EFGH Bonsoir,

Cherche s'il existe des solutions évidentes en annulant le terme sous le radical.
Exemple : $1 - x = 0$ , donne $x = 1$
En remplaçant $x$ par 1 dans l'équation on trouve bien 0, donc $x = 1$ est solution.

Bonjour,

@ABCD-EFGH ,

Quelques pistes,

On travaille sur $R$

Je te conseille de transposer un terme ( bien choisi pour avoir des simplifications) et d'élever les deux membres à la puissance 3

$1−x3−x3=1−2x3\sqrt[3]{1-x}-\sqrt[3] x=\sqrt[3]{1-2x}$

Tu sais que :
$a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Tu peux écrire
$a-b)^3=a^3-3ab(a-b)-b^3$

En transformant l'équation avec cette identité, tu dois arriver après quelques manipulations / simplifications à

$)(1−x3−x3)=0(\sqrt[3]{1-x}\ .\ \sqrt[3]{x}\ )(\sqrt[3]{1-x}-\sqrt[3]x)=0$

c'est à dire

$(1−x3−x3)=0(\sqrt[3]{(1-x)x} \ .\ (\sqrt[3]{1-x}-\sqrt[3]x)=0$

Au final, sauf erreur, tu dois trouver trois solutions :
$x = 0$ , $x=12x=\dfrac{1}{2}$ , $x = 1$

Reposte si tu n'y arrives pas.

@mtschoon merci infiniment de m'avoir montré la démarche, c'est ça le vrai problème, moi ce que j'ai fait est de se débarrasser de la racine cubique de 1-x et de x tout en les remplaçant par a^3-b^3/a^2+ab+b^2 mais ça m'a rien donné et je suis resté bloqué. je vous remercie tellement et vous suis très reconnaissant

@Noemi merci pour cette méthode ! ça m'a vraiment aidé

De rien @ABCD-EFGH ,

C'es parfait, si tu es arrivé à bout de cette équation pas facile .
Bon travail !