Demonstration par récurrence

Bonjour, c'est encore moi désolé ^^'
Je sais que pour tout n>=2 un est définie par
un=(1-1/4)x(1-1/9)x...x(1-1/n²)
Je dois démontrer que pour tout n>=2, on a u(n+1)=(n(n+2)/(n+1)²)*un
et deuxièmement, que pour tout n>=2, on a un=(n+1)/(2n)
normalement pour la première démonstration j'ai l'initialisation mais c'est tout.

@Siilvios Bonjour,

Pour la première question,
$un+1=(1−14)×(1−19)×.....×(1−1n2)×(1−1(n+1)2)u_{n+1}=(1-\dfrac{1}{4})\times (1-\dfrac{1}{9})\times .....\times (1-\dfrac{1}{n^2})\times (1-\dfrac{1}{(n+1)^2})$
$un+1=un×((n+1)2−1(n+1)2)u_{n+1}= u_n \times (\dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2})$

Développe et simplifie la parenthèse pour obtenir le résultat demandé.

Pour la deuxième question, fais une démonstration par récurrence.

@Noemi Merci, je m'y prenais juste mal en fait.

Bonjour,

@Siilvios ,

Maintenant que tu as pu traiter la première question, je te donne, si besoin, une indication pour la récurrence de la question 2, qui se fait avec la réponse de la question 1.

Pour l'initialisation , pour n=2
Avec la définition de $U_n$ , pour n=2, $U2=1−14=34U_2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
Avec la formule à démontrer, tu dois trouver pareil.

Pour l'hérédité.
Tu supposes qu'à un ordre n ( $n≥2n\ge 2$ ), $Un=n+12nU_n=\dfrac{n+1}{2n}$

Tu dois démontrer qu'à l'ordre (n+1) : $Un+1=(n+1)+12(n+1)U_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{2(n+1)}$ c'est à dire : $Un+1=n+22n+2U_{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}$

Piste de la DEMONSTRATION
D'après la question 1): $Un+1=n(n+2)(n+1)2×UnU_{n+1}=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\times U_n$

Avec l'hypothèse de l'hérédité , tu peux écrire :
$Un+1=n(n+2)(n+1)2×n+12nU_{n+1}=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\times \dfrac{n+1}{2n}$

Tu simplifies cette expression et tu dois arriver à trouver $n+22n+2\dfrac{n+2}{2n+2}$

Bons calculs.