Equation sur l ensemble C

Bonjour,
Résoud dans C
p=1+2z +2z^2 +··· +2z^(n-1) + z^n=0

Transforme la somme $2z+2z^2+ .... + 2z^{n-1}$ .
Somme des termes d'une suite géométrique

Bonjour,

@Mohssine , si tu as oublié la formule de la somme relative aux suites géométriques, tu peux regarder au paragraphe IV) 3)
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

Ici, tu dois calculer $z+z^2+...+z^{n-1}$

Il s'agit de la somme des (n-1) premiers termes de la suite géométrique de premier terme $z$ et de raison $z$

Tu t'assures d'abord que $1$ n'est pas solution de l'équation pour pouvoir diviser par $(1 - z)$

$z+z2+...+zn−1=z(1−zn−11−z)z+z^2+...+z^{n-1}=z\biggr(\dfrac{1-z^{n-1}}{1-z}\biggr)$
Avec cette expression, tu transformes l'équation à résoudre.

Reposte si tu n'y arrives pas.

Bonjour, j arrive pas a trouver la sultion de cette equation, c'est bombien 1?

@Mohssine

$1+z^n+2z\dfrac{(1-z^{n-1})}{1-z}$

Réduis cette expression au même dénominateur et factorise le numérateur.

@Mohssine , il faut faire les calculs...

$1+2z(1−zn−11−z)+zn=01+2z\biggr(\dfrac{1-z^{n-1}}{1-z}\biggr)+z^n=0$

Tu multiplies chaque membre par $(1 - z)$

$1-z)+2z(1-z^{n-1})+z^n(1-z)=0$

Tu développes, tu simplifies et tu dois arriver à

$1+z-z^n-z^{n+1}=0$

Tu poursuis en mettant $(1 + z)$ en facteur ce qui te permettra de tirer des conclusions.

Reposte si tu n'aboutis pas.

@Noemi dans la premiere ligne je vois il y a une faute, au numérateur c est z^n non pas z^n-1

@Mohssine

De quelle relation parles-tu ?

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Bonjour,

@Mohssine , en consultant tout ce qui a été écrit, je ne vois pas de faute.

Si tu es arrivé à obtenir la dernière transformation de l'équation, tu as :

$1+z-z^n-z^{n+1}=0$
c'est à dire :
$1+z-(z^n+z^{n+1})=0$
c'est à dire
$1+z-z^n(1+z)=0$
En mettant $(1 + z)$ en facteur:
$(1+z)(1−zn)=0\boxed{(1+z)(1-z^n)=0}$

Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul.
Tu peux ainsi trouver les solutions.

Tiens nous au courant si tu veux une vérification sur les solutions.

Bonjour noemi, mtschoon,

Si vous parvenez à obtenir une seule ligne de math concernant la question posée par Mohssine, vous avez de la chance car sur un autre forum, il n'a jamais écrit une seule ligne de math.

Comme on lui a signalé il est venu poster sur MATHFORU

Seule les réponses l'intéressent.

Bonne journée!!

Bonjour @Wilmat et bonne journée à toi.

@Wilmat Bonjour,

Merci pour cette information.

@mtschoon Je te remercie infiniment, et laisse les jaloux mourirent de leur jalousie, mais t es vraimment top

@Noemi S est sont les racines n ieme de 1 et -1, merci encore une fois

Oui @Mohssine , globalement c'est ça , mais il y a une petite nuance à faire (sur l'ensemble S de solutions de l'équation).

Vu que $z = 1$ n'est pas solution de l'équation (tu as dû le vérifier avant d'avoir utiliser la formule de la somme de la suite géométrique) il faut enlever 1 aux racines nièmes de 1.

Il y a en plus une nuance à faire suivant la parité de $n$ , au sujet de $- 1$

Si n est pair, $- 1$ fait partie des racines nièmes de 1
Donc, dans ce cas, S est l'ensemble des racines nièmes de 1 ( privé de {1} )

Si n est impair, $- 1$ ne fait pas partie des racines nièmes de 1
Donc , dans ce cas, S est {-1} U l'ensemble des racines nièmes de 1( privé de {1} ).

bien compris merci encore une fois