Récurrence et suite auxiliaire math

Bonjour pouvez-vous m’aider pour un dm en math svp
J’ai fait le début
Voici l’énoncé :
Soit la suite numérique (Un) Définie sur N par U0=2 et pour tout entier naturel n : Un+1=2/3Un+1/3n+1

a. calculer U1 U2 U3 U4
Ma réponse: U1= 7/3 U2=10/3 U3= 13/3 U4=16/3
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Ma réponse: il semblerait que la suite (Un) est croissante sur N.

a. démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
Un < ou = n+3
Ma réponse: On considère la propriété quelque soit n appartient à N Un < ou = n+3:
Initialisation : n=0
U0= 2 & 2<3
Donc la propriété est vrai au rang zéro.
Hérédité : on suppose que la propriété est vrai un certain rang p. C’est-à-dire Up < ou = p+3
Sous cette hypothèse, on veut montrer que la propriété est vrai au rang p+1. C’est-à-dire Up+1 < ou = p+4
Et la je bloque pour la suite et pour les autres questions du coup

b. Démontrer que pour tout entier naturel n :
Un+1 - Un =1/3(n+3-Un)
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3) on désigne par (Vn) là je suis définie sur N par Vn= Un-n
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2/3.
b. En déduire que pour tout entier naturel n:
Un= 2(2/3)^n + n.
c. Déterminer la limite de la suite (Un).
4) pour tout entier naturel non nul n, on pose:
Sb= u0+u1+…+un et Tn= Sn/n^2
a. Exprimer Sn en fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (Tn).

Merci beaucoup de votre aide

@RK , cet exercice a été donné au BacS de 2013

Le voici :

https://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/AnnalesThematiques/Suites/2013-france-metropolitaine-exo4.pdf

Consulte le lien et demande si tu ne comprends pas (ou ce que tu ne comprends pas )

@mtschoon
Merci beaucoup
Pouvez-vous m’expliquer la question 4a svpp

@RK ,

Piste la 4)a)

Tu utilises l'expression de $u_n$ trouvée à la 3)b) pour chaque terme de $
S_n$:
$un=2(23)n+nu_n=2(\dfrac{2}{3})^n+n$

$S_n=u_0+u_1+...+u_n$

$u_0=2$
$u1=2(23)+1u_1=2(\dfrac{2}{3})+1$
$u2=2(23)2+2u_2=2(\dfrac{2}{3})^2+2$
$u3=2(23)3+3u_3=2(\dfrac{2}{3})^3+3$
...
$un=2(23)n+nu_n=2(\dfrac{2}{3})^n+n$

Tu regroupes les premiers termes en eux et les seconds termes entre eux
$Sn=(2+2(23)+2(23)2...+2(23)n)+(1+2+..+n)S_n=\biggr(2+2(\dfrac{2}{3})+2(\dfrac{2}{3})^2...+2(\dfrac{2}{3})^n\biggr)+\biggr(1+2+..+n\biggr)$
Tu peux mettre 2 en facteur dans le premier groupe :
$Sn=2(1+(23)+(23)2...+(23)n)+(1+2+..+n)S_n=2\biggr(1+(\dfrac{2}{3})+(\dfrac{2}{3})^2...+(\dfrac{2}{3})^n\biggr)+\biggr(1+2+..+n\biggr)$

$(1+(23)+(23)2...+(23)n)\biggr(1+(\dfrac{2}{3})+(\dfrac{2}{3})^2...+(\dfrac{2}{3})^n\biggr)$ est la somme des (n+1) premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $23\dfrac{2}{3}$
Tu calcules cette somme avec la formule de ton cours , ce qui te donne $1×1−(23)n+11−231\times \dfrac{1-(\dfrac{2}{3})^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}}$ que tu transforme au mieux

Pour $(1+2+..+n)\biggr(1+2+..+n\biggr)$ , tu as peut-être la formule "toute faite" dans ton cours.
Sinon, $(1+2+..+n)\biggr(1+2+..+n\biggr)$ est la somme des n premiers termes de la suite arritmétique de premier terme 1 et de raison 1 ce qui te donne $n(1+n)2\dfrac{n(1+n)}{2}$

Bons calculs.

@RK ,

Si tu as besoin, pour les formules relatives aux suites, tu peux regarder ici paragraphes III et IV

https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

@mtschoon
Merci beaucoup et pour la question 4b pouvez-vous m’expliquer svp

@RK , si tu as trouvé $S_n$ , tu divises par $n^2$ pour trouver $T_n$

D'où : $Tn=6n2(1−(23)n+1)+n(n+1)2T_n=\dfrac{6}{n^2}\biggr(1-(\dfrac{2}{3})^{n+1}\biggr)+\dfrac{n(n+1)}{2}$

$n(n+1)2=12+12n\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n}$

Donc : $Tn=6n2(1−(23)n+1)+12+12nT_n=\dfrac{6}{n^2}\biggr(1-(\dfrac{2}{3})^{n+1}\biggr)+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n}$

Tu cherches la limite de chaque terme

n tend vers + $∞\infty$ donc :

$6n2\dfrac{6}{n^2}$ tend vers 0

$(23)n+1(\dfrac{2}{3})^{n+1}$ tend vers 0 ( voir suite géométrique )

$12n\dfrac{1}{2n}$ tend vers 0

La limite de $T_n$ est donc $12\dfrac{1}{2}$

@mtschoon
Mercii beaucoup

De rien @RK et bon DM.