Calcul de dérivées,...

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider ?

Une entreprise fabrique un objet dont le bénéfice en milliers d'euros par milliers d'articles fabriqués et vendus est donné par B(x) = -2xˆ3+2x²+32x+40 (avec x appartient a [0 ; 8].

1) Bénéfice pour 1500 articles vendus ? --> j'ai trouvé 85,75 milliers d'euros
2) Montrer que B(x) = (10-2x)(x²+4x+4) --> j'ai réussi
3) Pour quel nombre d'articles l'entreprise est-elle bénéficiaire ? --> J'ai trouvé pour x appartenant à [0;5], donc entre 0 et 5000 articles /!\ /!\ JE NE SUIS PAS SURE
4) Pour quel nombre d'articles l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximum ?JE N'Y ARRIVE PAS

Merci à vous !

S'il vous plait @Noemi ?!! @mtschoon ?!!

@Smoothies Bonjour,

Pour la question 3, $x^2+4x+4=(x+2)^2$ qui est une expression positive;
Il faut donc que $(10−2x)≥0(10-2x)\geq0$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice.

Pour la question 4, calcule la dérivée et dresse le tableau de variations.

@Noemi Bonjour,

Merci de m'avoir répondue !

Si je comprend bien, j'ai trouvé le bon résultat à la question 3 (j'ai procédé à ce résultat par tableau de signe) ?!?
Pour la question 4, j'ai fait :

B'(x) = -2 (2x+4)

-2<0 donc tjrs négatif.
(2x+4) = 0 pour x= -2 et a= 2 positif sur [0;8]

On a donc :
B'(x) = signe négatif -
Donc :
B(x) = variation décroissante

Or, je ne vois pas comment répondre à la question "Pour quel nombre d'articles l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximum ? ?!?
Merci d'avance !

Bonjour,

@Smoothies , je regarde la question 4)

Ta dérivée B'(x) est inexacte.

Si tu utilises $B(x)=(10-2x)(x^2+4x+4)$ , ce que je pense que tu as utilisé, il faut revoir la dérivée d'un produit.

Rappel : $(U V)^{'} = U^{'} V + U V^{'}$
$U (x) = 10 - 2 x$
$U^{'} (x) = - 2$
$V(x)=x^2+4x+4$
$V^{'} (x) = 2 x + 4$

$B'(x)=-2(x^2+4x+4)+(10-2x)(2x+4)$

Tu développes, tu simplifies.

Sauf erreur, tu dois trouver : $B'(x)=-6x^2+4x+32$

Remarque; en prenant l'expression de $B (x)$ de départ, c'est plus facile pour calculer la dérivée.
Tu peux faire les deux méthodes, pour vérifier que tu trouves pareil.

Ensuite, tu résous B'(x)=0 ( tu réserves la valeur appartenant à [0,8], puis signe de B'(x), tableau de variation et conclusion.

@mtschoon

Merci de votre aide. Je trouvais qu'il y avait quelque chose de bizard dans mon raisonnement. Tout doit venir de là.
Je fais mon tableau et tout ca et reviens vers vous en cas de probleme !
Merci encore

C’est parfait, j’ai réussi !!!
Encore merci à vous @mtschoon et @Noemi !

De rien @Smoothies !

Je pense que tu as trouvé que le maximum est pour $x=83x=\dfrac{8}{3}$ et que $f(83)=277427f(\dfrac{8}{3})=\dfrac{2774}{27}$ donc $f(83)≈101,63f(\dfrac{8}{3})\approx 101,63$

@mtschoon oui c’est presque ca car nous on nous a appris à nous arrêter à 8/3 donc je pense qu’il faut que je m’arrête ici.

@Smoothies ,

Oui, si le bénéfice maximal n'est pas demandé, tu peux conclure seulement que le nombre d'articles est voisin de 2666 vu que $83×1000=80003\dfrac{8}{3}\times 1000=\dfrac{8000}{3}$ et $80003≈2666\dfrac{8000}{3}\approx 2666$

Si tu veux, en plus, bien que non demandé, indiquer la valeur du bénéfice maximal , il est d'environ 101630 €

Je pense qu'on a fait le tour de la question.

@mtschoon
D’accord, merci !

@Smoothies , de rien et surtout bon travail !