Limite et continuité d'une fonction

Bonsoir, j'ai un problème mathématique que je trouve des difficultés à le résoudre : Soit f la fct définie par (√(3+sinx+cosx) - 2) /x si x>0 et par ax+√(x^2 +x+1) si x≥0 où a est un élément de R
Donc d'abord j'ai pas su comment calculer la limite de ax+√(x^2 +x+1) quand x tend vers +l'infini
Ensuite dans l'énoncé il faut montrer que f est continue à droite en 0, ce qui n'est pas le cas quand j'ai fait mes calculs. Pourriez-vous m'aider svp, et merci d'avance !

@ABCD-EFGH Bonsoir,

Pour la limite, étudie selon le signe de $a$ .

@Noemi bonsoir, merci pour m'avoir très vite répondu. Oui c'est ça ce que j'ai fait : si a>1 la limite est égale à -l'infini et si a<1 la limite est égale à +l'infini, or dans la question suivante il faut montrer que f est continue sur -l'infinie ; 0] ; et c'est ce que je ne comprends pas .

@ABCD-EFGH

Vérifie l'énoncé, la fonction est définie pour $x>0x\gt0$ et pour $x≥0x\geq 0$ .
Si $a>0a\gt0$ , la limite n'est pas forcément $+∞+\infty$
Calcule la limite en 0.

Bonjour,

@ABCD-EFGH , tu devrais relire l'énoncé que tu as écrit car il est confus.

Tu as indiqué :
pour $x>0x\gt 0$ , $f (x) = . . . . . . . . . . . . . . .$ et pour $x≥0x\ge 0$ , $f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
Il y a une contradiction..

Comme tu indiques ensuite qu'il faut chercher"la limite de ax+√(x^2 +x+1) quand x tend vers +l'infini", on peut penser (?) que :
pour $x<0x\lt 0$ $f(x)=3+sinx+cosx−2xf(x)=\dfrac{\sqrt{3+sinx+cosx}-2}{x}$
et
pour $x≥0x\ge 0$ $f(x)=ax+x2+x+1f(x)=ax+\sqrt{x^2+x+1}$

Vérifie pour en être sûr.

@ABCD-EFGH , pour le cas où ma modification d'énoncé est bonne (?), je regarde cette limite en $+∞+\infty$ , c'est à dire on cherche :
$lim⁡x→+∞(ax+x2+x+1)\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \biggr(ax+\sqrt{x^2+x+1}\biggr)$

Discussion suivant a réel.

1er cas : a=0 $f(x)=x2+x+1f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$
Pas de difficulté pour trouver que la limite est $+∞+\infty$

2eme cas : $a>0a\gt 0$ $f(x)=ax+x2+x+1f(x)=ax+\sqrt{x^2+x+1}$
Pas de difficulté pour trouver que la limite est $+∞+\infty$

3eme cas : $a<0a\lt 0$ $f(x)=ax+x2+x+1f(x)=ax+\sqrt{x^2+x+1}$
Indétermination de la forme " $−∞+∞-\infty+\infty$ "

En multipliant et divisant par le conjugué, en mettant x en facteur au numérateur et au dénominateur, en simplifiant par x, vu que certaines quantités tendent vers 0, il doit te rester à trouver, sauf erreur, la limite de $x(a2−1)−1a−1\dfrac{x(a^2-1)-1}{a-1}$

Pour $−1<a<0-1\lt a\lt 0$ , $a2<1a^2\lt 1$ , tu dois trouver que la limite cherchée est $+∞+\infty$

Pour $a = - 1$ , tu dois trouver que la limite cherchée est $12\dfrac{1}{2}$

Pour $a<−1a\lt -1$ , $a2>1a^2\gt 1$ , tu dois trouver que la limite cherchée est $−∞-\infty$

Regarde tout ça de près , en vérifiant d'abord l'énoncé puis en faisant les transformations indiquées pour trouver la limite.

( on verra la suite lorsque tu auras vérifié tout ça ).