Variation d'une fonction polynôme du second degré

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice en math, pourriez vous m'aider svp ? Je suis bloqué a la question 3.

Voici l'énoncé et les questions:

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = -x² + 5x -4. On note C la représentation graphique de la fonction f dans le plan.

étudier les variation de la fonction f.
J'ai trouvé delta = 9 et a<0 donc la courbe est croissant puis décroissant - | + |- . Je sais pas comment mieux expliquer
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
x1 = -b - √Δ / 2a = -5-√9 / 2*(-1)= -8/-2= -4
x2 = -5+3 / -2 = 1
Les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont -4 et 1.
soit p un nombre réel.
Déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe C et la droite d d'équation y=x+p ont deux points d'intersection.
Déterminer les coordonnées exactes des points d'ordonnée 1 de la courbe C.

Merci d'avance pour vos aides.

@Muhammed-Dalikirik Bonjour,

Pour les variations, il faut préciser les coordonnées du sommet.
Soit par application du cours sur les fonctions polynômes du second degré, soit par le calcul de la dérivée.

Pour la question 2, attention à la régles des signes, vérifie le résultat pour $x_1$
Tu as indiqué les abscisses, il faut préciser les coordonnées des points.

Pour la question 3, tu peux étudier l'équation $f (x) = y$ .

@Noemi pour la question 1 j'ai mis la fonction en forme canonique pour trouver les coordonées du sommet
f(x)= -x² + 5x - 4
f(x) = ( -x- 2,5)² - 2,5² - 4 = ( -x- 2,5)² + 2,25
donc le coordonnée du sommet est (2.5; 2,25)
la courbe est croissante jusqu'à (2.5; 2,25) (l'extremum) puis décroissante.

@Noemi pour la question 2
x1= -8/-2 = 4
x2= 1
les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont (1;0) et (4;0).

@Muhammed-Dalikirik

Des erreurs pour la forme canonique
$f(x)=-(x-2,5)^2+2,5^2-4=-(x-2,5)^2+2,25$

la question 2 est juste.

@Noemi
d'accord merci,
mais je ne comprend toujours pas la question 3.

@Muhammed-Dalikirik

Ecris la forme canonique de $f (x) - y$ soit
$f (x) - x - p$
Puis tu analyses le nombre de solution de l'équation
$f (x) - x - p = 0$

@Noemi
j'ai fait yA = mxA + p
1= 0*1+p
p = 1
et yB = mxB +p
4= 0 +p
p= 4

@Muhammed-Dalikirik

Tu me suis pas les indications données.
$f (x) - x - p = 0$
$x^2+5x-4-x-p=0$

Simplifie cette expression et écris sa forme canonique.

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@Noemi
−x^2+5x−4−x−p=0
−x^2+4x−4−p =0
-x^2 + 2x* (-2)-2^2 -p
-(x+2)^2 -4 -p = 0

-(x+2)^2 -4 = p

@Noemi
Δ= b^2-4ac
Δ= -4^2-4*(-1)*(-4-p)
Δ= 16-16 -4p
Δ= -4p
l'équation admet solutions distincte ssi Δ>0
-4p>0
p<0

@Muhammed-Dalikirik

Des erreurs dans la forme canonique :
$x^2+5x-4-x-p$
$x^2+4x-4-p$
$x-2)^2-p$

$x-2)^2-p= 0$
Si $p=-(x-2)^2$
Cherche le nombre de solution de cette équation selon les valeurs de $p$ .

@Noemi j'ai pas bien compris comment on peut faire selon les valeurs de p

@Muhammed-Dalikirik

L'équation $x-2)^2-p= 0$ peut s' écrire $x-2)^2+p= 0$

Si $p>0p\gt0$ , l'équation n'a pas de solution.
Si $p = 0$ , l'équation a une seule solution $x = . . .$
Si $p<0p\lt0$ , l'équation a deux solutions qui sont ....

@Noemi
Avec ∆ j'ai trouvé p<0
Donc on peut dire la courbe C et la droite D ont deux points d'intersection si p est négatif

@Muhammed-Dalikirik

Oui c'est la solution.

@Noemi
Du coup est-ce qu'on peut le prouver avec ça ?

Δ= b²-4ac
Δ= -4²-4*(-1)*(-4-p)
Δ= 16-16 -4p
Δ= -4p
l'équation admet solutions distincte ssi Δ>0
-4p>0
p<0

@Muhammed-Dalikirik

Oui c'est correct.

@Noemi
Pouvez vous m'expliquer la question suivante svp.

@Muhammed-Dalikirik

Pour la dernière question, il faut résoudre l'équation :
$f (x) = 1$ soit $f (x) - 1 = 0$

@Noemi

-x²+5x-4-1=0
-x²+5x-5=0

a=-1 b=5 c= -5

∆= b² -4ac
∆= 5²-4*(-1)*(-5)
∆= 25-20
∆=5

x1 = -b-√∆ /2a = -5-√5 /2*(-1) ≈-7,24/-2= 3.62
x2 = -5+√5 /-2 = -2,76/-2= 1,38
Les coordonnées sont (1.38 ;1) et (3.62;1)

@Muhammed-Dalikirik

Il est demandé les valeurs exactes, donc par de valeurs décimales approchées.
$x1=−5−5−2=5+52x_1=\dfrac{-5-\sqrt5}{-2}=\dfrac{5+\sqrt5}{2}$

$x2=−5+5−2=5−52x_2=\dfrac{-5+\sqrt5}{-2}=\dfrac{5-\sqrt5}{2}$

Tu écris les coordonnées des points avec ces abscisses.

@Noemi
D'accord donc c'est ( 5-√5 /2 ; 1) et (5+√5/2;1)

@Muhammed-Dalikirik

Oui c'est juste.

@Noemi
Merci beaucoup pour vos aides,
bonne soirée

@Muhammed-Dalikirik

J'espère que tu as tout compris.
Bonne soirée.