exercice géométrie dans l'espace

Bonjour, j'ai un exercice de géométrie dans l'espace à faire et j'ai eu des problèmes de santé pendant une grande partie des cours donc j'ai beaucoup de mal dès le début...
Le voici:
On considère un cube ABCDEFGH. On note I, J et K les milieux respectifs des segments [AB],[BC] et [CG]. On souhaite étirer la coplanarité des points E, I, J et K.

première méthode
a) Exprimer chacun des vecteurs EI, EJ et EK comme combinaison linéaire des vecteurs EA, EF et EG.
b) Monter que les vecteurs EI et EK ne sont pas colinéaires.
c) Etudier l'existence de deux réels a et b tels que le vecteur EJ = a x le vecteur EI + b x le vecteur EK et conclure.
seconde méthode
a) Démonter que les droites (EG) et (IJ) sont parallèles.
b) Monter que K n'appartient pas au plan (EGI) et conclure.

On considère un tétraèdre ABCD de l'espace. On note E et F les milieux respectifs de [AD] et [BC] et on définit les points G et H par:
vecteur(AG )= 1/3vecteur(AB) et vecteur(CH) = 2/3vecteur(CD)
Démontrer que les points E, F, G et H son coplanaires.

Voila tout, j'ai beaux regarder mon cours je ne vois pas quoi appliquer quand et surtout comment... Merci beaucoup pour l'aide que vous m'apporterez et le temps que vous me consacrerez !

@Marco93 , bonjour,

Ici, un exercice=un topic.

Il faudra ouvrir une autre discussion pour ton second exercice si tu as besoin d'aide.

Je regarde ton premier exercice.

Je te joins un schéma pour plus de clarté.

@Marco93 , quelques pistes pour démarrer, mais tout n'est pas détaillé.

1 )a ) Utilise la relation de Chasles.

$EI→=EA→+AI→\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AI}$
$EI→=EA→+12EF→\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}$

Tu peux prouver que $IJ→=12EG→\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}$

$EJ→=EA→+AI→+IJ→\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}$
$EJ→=EA→+12EF→+12EG→\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{EA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}$

$EK→=EG→+GK→\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GK}$
$EK→=12EA→+EG→\overrightarrow{EK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EG}$

Regarde cela de près et essaie de poursuivre.

@mtschoon
Bonjour, merci pour votre aide.
J’ai pu comprendre la question 1)a) mais je ne comprend pas comment prouver que IJ=1/2EG, je n’ai pas trouvé de théorème qui le justifié…
Pour la question 1)b) je pensais mettre que ce n’étais pas colinéaires car il est impossible de trouver un k tel que EI=k EK.
Pour la question 1)c) je ne comprend pas comment faire car dans les exercices que j’ai réalisé en cours nous avions les coordonnées des points pour montrer que les vecteurs étaient colinéaires…

merci d’avance pour votre réponse.

@Marco93 ,

Piste,

$IJ→=IB→+BJ→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}$

$IJ→=12EF→+12FG→\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FG}$

$IJ→=12(EF→+FG→)\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG})$

$IJ→=12EG→\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}$

Ton idée pour la 1)b) est bonne

Pour la 1)c), remplace chacun des 3 vecteurs par les expressions que tu viens de trouver, puis procède pr identification.

Reposte si besoin.

@mtschoon
Bonjour,
veuillez m'excusez mais j'ai essayé plusieurs fois au brouillon et je ne comprend pas comment faire ou tout simplement je ne comprend pas se que signifie procéder par identification pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci d'avance.

@Marco93 , je détaille un peu.

Comme déjà indiqué, tu remplaces, dans l'égalité , les 3 vecteurs par les expressions trouvées à la question 1)a)

$EA→+12EF→+12EG→=a(EA→+12EF→)+b(12EA→+EG→)\overrightarrow{EA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}=a(\overrightarrow{EA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF})+b(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EG})$

Tu développes le membre de droite et le transformes

ça doit te donner (sauf erreur) :

$EA→+12EF→+12EG→=(a+b2)EA→+(a2)EF→+bEG→\overrightarrow{EA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}=(a+\dfrac{b}{2})\overrightarrow{EA}+(\dfrac{a}{2})\overrightarrow{EF}+b\overrightarrow{EG}$

Tu compares les deux membres de l'égalité
Les coefficients de chaque vecteur sont égaux (car unicité de la décomposition)
${1=a+b212=a212=b\begin{cases}1=a+\dfrac{b}{2}\cr \dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{2}\cr \dfrac{1}{2}=b\end{cases}$

Tu résous le système d'inconnues a et b et tu dois trouver une contradiction.

Conclusion : le système est impossible.

Tu tires la conclusion.

@mtschoon
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide, j’ai pu continuer l’exercice et faire la seconde méthode cependant je bloque à la question 2)b: je ne sais pas comment montrer que K n’appartient pas au plan EGI.

Merci d’avance pour votre aide

@Marco93 , bonsoir,

Piste pour la 2)b);

Regarde bien le schéma, car le raisonnement est "géométrique".

Les droites (EG) et (IJ) sont parallèles (et ne sont pas confondues). Elles définissent un plan que j'appelle (P) passant par E,G,I, J.
Ce plan (P) coupe la face (BCGF) du cube suivant la droite (GJ).

Le point K n'appartient pas à (GJ) donc K ne peut pas appartenir à ce plan (P)

@mtschoon
Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre aide, j’ai enfin fini cet exercice .

@Marco93 ,

C'est bien d'avoir terminé ! bonne soirée à toi.