Exercice Congruences et divisibilité

Bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire. Nous avons fais les chapitres divisibilité et Congruences. Pourriez vous m'aider.!

Scan supprimé par la modération.

@Jérémie , bonjour,

Ici , les scans d'énoncés ne sont pas autorisés (sauf pour tableaux, graphiques).
Il faut écrire ton énoncé au clavier.

@Jérémie Bonjour,

Le scan de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les scans de figures, schémas ou graphiques sont autorisés.

Ecris l'énoncé, propose tes éléments de réponse et tu obtiendras de l'aide et des pistes de résolution.

Le scan va être supprimé.

Ce message a été supprimé !

ENONCE RECONSTUTUE

1 )a) Pour tout n naturel non nul, déterminer le reste de la division euclidienne de $7^n$ par $9$

1 )b) En déduire le reste de la division euclidienne de $7^{2023}$ par $9$

2 )a) Prouver que pour tout n naturel non nul, $10n≡1[9]10^n\equiv 1[9]$

2 )b) $N$ est une entier naturel écrit en base $10$
$S$ est la somme de ses chiffres
Démontrer que : $N≡S[9]N\equiv S[9]$

2 )c) Montrer que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si
$S$ est divisible par $9$

3 )a) On suppose que $A=2023^{2023}$
$B$ est la somme des chiffres de $A$
Démontrer que $A$ s'écrit avec au plus de $8092$ chiffres

3 )b) Démontrer que $B≤72828B\le 72828$

Pistes de solution ,
1 )a)
$7^0=1$ donc $71≡1[9]7^1 \equiv 1[9]$
$7^1=7$ donc $71≡7[9]7^1 \equiv 7[9]$
$72=49=(9×5)+47^2=49=(9\times 5)+4$ donc $72≡4[9]7^2 \equiv 4[9]$
$73=324=(9×38)+17^3=324=(9\times 38)+1$ donc $73≡1[9]7^3 \equiv 1[9]$

Tu généralises en utilisant ce qui vient d'être calculé.

$n = 3 k$ : $7^n=7^{3k}=(7^3)^k$ donc $73k≡1[9]7^{3k}\equiv1[9]$
$n = 3 k + 1$ : tu continues
$n = 3 k + 2$ : tu continues

@Jérémie ,

J'éspère que tu as trouvé :
Pour $n = 3 k + 1$ , $7n≡7[9]7^n\equiv 7[9]$
Pour $n = 3 k + 2$ , $7n≡4[9]7^n\equiv 4[9]$

Pour le 1)b), tu fais la division euclidienne de 2023 par 9 : quotient 224 et reste 7

$2023≡7[9]2023\equiv 7[9]$ donc $20232023≡72023[9]2023^{2023}\equiv 7^{2023}[9]$

Pour $7^{2023}$ tu utilises le résultat de la question 1)a)
$2023$ est de la forme $3 k + 1$ et tu tires la conclusion.

Essaie de poursuivre.

@Jérémie ,
Si besoin, je te mets quelques pistes pour la suite(mais seulement des pistes-il faut tout expliter/détailler))
2)a) C'est évident.
$10=(9×1)+110=(9\times 1)+1$ donc $10≡1[9]10\equiv1[9]$ donc $10n≡1[9]10^n\equiv1[9]$
Cette question est faite pour être utilisée à la question suivante.

2)b) En écrivant N sous forme détaillée en base 10 (avec les puissances de 10).

$a_0$ chiffre des unités, $a_1$ chiffre des dizaines, $a_2$ chiffre des centaines, etc

$N=a_n10^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_210^2+a_110^1+a_0$

Vu que $10k≡1[9]10^k\equiv 1[9]$ d'après la question précédente, avec les propriétés des congruences, on obtient
$N≡an+an−1+...+a2+a1+a0[9]N\equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0[9]$ , c'est à dire
$N≡S[9]N\equiv S[9]$
2)c) on utilise la propriété de transitivité de la relation "divise"

Pour la 3)a)
$A=1023^{2023}$
$2023<100002023\lt 10000$ donc
$20232023<1000020232023^{2023}\lt 10000^{2023}$
$10000^{2023}=(10^4)^{2023}=10^{8092}$
$10^{8023}$ est est le plus petit nombre à 8093 chiffres
Donc A s'écrit avec plus de $8092$ chiffres

Pour la 3)b)
Le plus grand nombre à 8092 chiffres est composé exclusivement de 9
La somme de ses chiffres est $9+9+...+9+9=9×8092=728289+9+...+9+9=9\times 8092=72828$
D'où $B≤72828B\le 72828$

CQFD

Vérifie tout ça et détaille .

Bon travail @Jérémie

@mtschoon
Bonsoir pourriez vous m'aider s'il vous plaît. C'est urgent.
Je n'ai pas bien compris comment répondre à la question 2. c) exactement ?

@Jérémie Bonsoir,
$N≡S[9]N\equiv S[9]$
Si $N$ est divisible par 9 alors $N≡0[9]N\equiv 0[9]$ donc par transitivité, $S≡0[9]S\equiv 0[9]$
Si $S$ est divisible par 9 alors $S≡0[9]S\equiv 0[9]$ donc par transitivité, $N≡0[9]N\equiv 0[9]$
Donc $N$ est divisible par 9 si et seulement si $S$ est divisible par 9.

@Noemi
Merci beaucoup moi j'avais écrit que 9 divise N et S
J'ai compris

Encore un qui a , après avoir scanné l'énoncé ( d'où scan supprimé ) a fini par l'écrire pour avoir de l'aide et a supprimé ensuite l'énoncé en empêchant ainsi à tous de comprendre cet exercice d'arithmétique très interressant , tout à fait dans l'esprit du Bac.

Cette possibilité de suppression me navre de plus en plus.

L'énoncé a été reconstitué (approximativement) dans ma première réponse d'aide , pour que ceux qui voudraient consulter et s'entraîner puissent le faire.