Les suites de nombres
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DDavid007 dernière édition par
Bonjour,
J'ai un DM de math qui me perturbe un peu.
En voici l'énoncé :
Quatres figures fournissent les quatre premiers nombres octogonaux
1, 8, 21 et 40 : chaque nombre octogonal est le nombre de points dans la figure
correspondante. Quel est le 10ème nombre octogonal ?Nous devons donc trouver une formule pour le terme général et fournir une démarche qui nous a permis de la trouver et aussi le 10eme terme de cette suite.
Jusqu'à présent j'ai trouvé une formule qui doit obligatoirement utiliser le terme précédent, ce qui je suppose est mauvais. Si vous saviez m'aider à avoir une formule utilisant le premier terme ou bien la formule du terme général j'en serai reconnaissant. L'on m'a déjà donné plusieurs formules mais elles n'étaient soit pas du niveau de 1ère soit pas possible à démontrer.
Merci d'avance
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@David007 Bonjour,
Ce sujet a été posé est une réponse y a été apportée :
Les nombres octogonaux sont pour n>1n\gt1n>1 de la forme Un=n2+4∑i=1n−1iU_n=n^2+4\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}iUn=n2+4i=1∑n−1i.
Une autre relation possible :
Un=n2+2(n2−n)U_n=n^2+2(n^2-n)Un=n2+2(n2−n)
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@David007 , tu indiques que tu as trouvé une formule qui utilise le terme précédent :
Si cette formule est Pn+1=Pn+6n+1P_{n+1}=P_n+6n+1Pn+1=Pn+6n+1 en appelant PnP_nPn le nombre octogonal de rang n, tu peux faire un raisonnement par récurrence pour arriver à une formule du terme général trouvé un peu partout sur le web, par exemple :
Pn=3n2−2nP_n=3n^2-2nPn=3n2−2nInitialisation à l'ordre 1 : P1=3−2=P_1=3-2=P1=3−2=1 vrai.
Hérédité :
Hypothèse à un ordre n de N∗N^*N∗ : Pn=3n2−2nP_n=3n^2-2nPn=3n2−2n
Concusion à démontrer à l'order (n+1) :
Pn+1=3(n+1)2−2(n+1)P_{n+1}=3(n+1)^2-2(n+1)Pn+1=3(n+1)2−2(n+1) c'est à dire, après développement et simplification, Pn+1=3n2+4n+1P_{n+1}=3n^2+4n+1Pn+1=3n2+4n+1Démonstration :
Pn+1=Pn+6n+1=3n2−2n+6n+1=3n2+4n+1P_{n+1}=P_n+6n+1=3n^2-2n+6n+1=3n^2+4n+1Pn+1=Pn+6n+1=3n2−2n+6n+1=3n2+4n+1CQFD