Terminale Spé maths Réciproque

Bonjour je suis coincé sur un exercice de réciproque. J'arrive à faire l'initialisation mais je bloque à l'hérédité.
Les infos sont:
Un+1=3Un/1+2Un
0<Un<1
Pouvez vous m'aidez merci.

@jonjuste Bonsoir,

L'énoncé est-il complet ?
L'expression est-elle $Un+1=3Un1+2UnU_{n+1}= \dfrac{3U_n}{1+2U_n}$ ?

L'expression est effectivement celle là.
J'ai aussi u0=1/2

@jonjuste

Quelles sont les questions ?

Je ne sais pas si cela peut aider mais on nous as demandé juste avant de faire le tableau de variation de la fonction 3x/1+2x

@Noemi La question est de montrer par récurrence que 0<Un<1

@jonjuste

$Un+1=31Un+2U_{n+1}= \dfrac{3}{\frac{1}{U_n}+2}$
Comme $0<Un<10\lt U_n \lt1$ , $1Un>1\dfrac{1}{U_n} \gt1$

Je te laisse poursuivre.

@Noemi je dois t'avouer que je ne comprends pas bien ce que je dois faire et comment tu es arrivée là.

@jonjuste

J'ai mis $U_n$ en facteur au numérateur et au dénominateur et j'ai simplifié.

$Un+1=3UnUn(1Un+2)=31Un+2U_{n+1}= \dfrac{3U_n}{U_n(\frac{1}{U_n}+2)}=\dfrac{3}{\frac{1}{U_n}+2}$
Comme $0<Un<10\lt U_n \lt1$ , $1Un>1\dfrac{1}{U_n} \gt1$
Il reste à compléter :
$1Un+2>....\dfrac{1}{U_n} +2 \gt ....$
et
$31Un+2<.....\dfrac{3}{\frac{1}{U_n}+2} \lt .....$

Bonjour,

@jonjuste a dit dans Terminale Spé maths Réciproque :

Je ne sais pas si cela peut aider mais on nous as demandé juste avant de faire le tableau de variation de la fonction 3x/1+2x

En suivant l'idée de l'énoncé :

@ @jonjuste , si tu as fait ce que te demande l'énoncé : étudier les variations de f définie par $f(x)=3x1+2xf(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$ , c'est pour t'en servir pour démontrer l'hérédité de la proposition : $\lt U_n\lt 1$

Idée :
$U_{n+1}=f(U_n)$
c'est à dire
$x=U_n$ et $f(x)=U_{n+1}$
En étudiant les variations de f, tu dois trouver que pour $x∈]0,1[x\in]0,1[$ , $\in]0,1[$

L'hérédité est ainsi prouvée.

@jonjuste , je détaille un peu plus.

Si tu as étudié la fonction, tu as dû trouver, en travaillant sur $R$ \ { $−12\dfrac{-1}{2}$ }

$f′(x)=3(2x+1)2f'(x)=\dfrac{3}{(2x+1)^2}$
$\gt 0$ donc $f$ strictement croissante sur $]−∞,−12[∪]−12,+∞[]-\infty, -\dfrac{1}{2}[ \cup ] -\dfrac{1}{2},+\infty[$ donc en particulier sur $[0, 1]$

De plus, $f (0) = 0$ et $f (1) = 1$ d'où la conclusion.

Remarque : je te trouve bizarre le titre de cette discussion. "Réciproque" ? , ,