Aide pour calculer la somme d'une suite de Termes
-
Wil Fried dernière édition par
Bonsoir, besoin d'aide svp.
On me demande de calculer cette somme suivante
Somme 1/(1+2+3+...+k). Et les bornes de la somme sont k=1 à k.
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
@Wil-Fried , bonsoir,
Normalement, tu dois savoir la somme de 1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}1+2+...+n=2n(n+1)
Sinon, tu le prouves en prenant la somme des n premiers termes de la suite arithmétique depremier terme 1 et de raison 1.
Donc, ici :
11+2+...+k=2k(k+1)\dfrac{1}{1+2+...+k}=\dfrac{2}{k(k+1)}1+2+...+k1=k(k+1)2
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
@Wil-Fried , éventuellement , regarde ici paragraphe III 3.
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/
-
Wil Fried dernière édition par
@mtschoon Ça donne donc ∑k=1k\sum_{k=1}^{k}∑k=1k 2k(k+1)\frac{2}{k(k+1)}k(k+1)2 c'est bien ça ?
C'est ce que je trouve moi. Du coup c'est ce que j'utilise pour la limite ou...mon résultat n'est pas juste ?
-
@Wil-Fried Bonjour,
C'est correct.
Quelle est la limite à calculer ?
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@Wil-Fried , comme déjà dit, 11+2+...+k=2k(k+1)\dfrac{1}{1+2+...+k}=\dfrac{2}{k(k+1)}1+2+...+k1=k(k+1)2 mais tu devrais revoir ton écriture avec ∑\sum∑
Tu écris ∑k=1k2k(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^k\dfrac{2}{k(k+1)}k=1∑kk(k+1)2
kkk ne peut pas varier de 111 à kkk ... ça n'a pas de sens...
C'est peut-être ∑k=1n2k(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{2}{k(k+1)}k=1∑nk(k+1)2 ou bien ∑n=1k2n(n+1)\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{2}{n(n+1)}n=1∑kn(n+1)2 ?
Merci de le préciser pour pouvoir comprendre ta question relative à la limite.
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
En supposant que tu veux calculer la limite de ∑k=1n2k(k+1)\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{k(k+1)}k=1∑nk(k+1)2 lorsque n tend vers ∞\infty∞ , tu peux décomposer 2k(k+1)\dfrac{2}{k(k+1)}k(k+1)2 en éléments simples et tu auras une somme télescopique dont tu trouveras la limite facilement.
2k(k+1)=2k−2k+1\boxed{\dfrac{2}{k(k+1)}=\dfrac{2}{k}-\dfrac{2}{k+1}}k(k+1)2=k2−k+12
Pour kkk variant de 111 à nnn, tu peux écrire les égalités les unes en dessous des autres pour mieux voir les simplifications.
11(2)=21−22\dfrac{1}{1(2)}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{2}1(2)1=12−22
22(3)=22−23\dfrac{2}{2(3)}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{2}{3}2(3)2=22−32
23(4)=23−24\dfrac{2}{3(4)}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}3(4)2=32−42
...
...
2(n−1)(n)=2n−1−2n\dfrac{2}{(n-1)(n)}=\dfrac{2}{n-1}-\dfrac{2}{n}(n−1)(n)2=n−12−n2
2n(n+1)=2n−2n+1\dfrac{2}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}n(n+1)2=n2−n+12En ajoutant membre à membre ces nnn égalités, tu trouves :
∑k=1n2k(k+1)=21−2n+1\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{k(k+1)}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{n+1}k=1∑nk(k+1)2=12−n+12La valeur de la limite, lorque nnn tend vers ∞\infty∞, est immédiate
-
Wil Fried dernière édition par
@mtschoon Merci beaucoup.
-
mtschoon dernière édition par mtschoon
De rien @Wil-Fried et j'espère que tu as trouvé que le limite de la somme est 222
-
Wil Fried dernière édition par
@mtschoon C'est bien ce que j'ai trouvé
-
mtschoon dernière édition par
C'est très bien @Wil-Fried .