Devoir de maison sur les vecteurs

Bonsoir, aidez moi svp!
Soit ( O,i,j ) un repère. On donne A(2;-3), B(-3;2) et C(3,2)
1-a) Calcule les coordonnées du point $A^{'}$ milieu de $[B C]$ .
Je trouve A'(0;2)
1-b) Calcule les coordonnées de G tel que $GA′→\overrightarrow{GA'}$ = $13\frac{1}{3}$ $AA′→\overrightarrow{AA'}$ . Dis ce que représente G pour le triangle $A B C$ .

@Wil-Fried Bonsoir,
Si $G (x; y)$ ;
$GA′→=(0−x;2−y)\overrightarrow{GA'}=(0-x;2-y)$
calcule les coordonnées du vecteur $AA′→\overrightarrow{AA'}$ , puis en utilisant la relation, tu calcules les coordonnées point $G$ .

Bonsoir,

@Wil-Fried , oui pour les coordonnées de A'

Si tu le souhaites, tu peux calculer les coordonnées de G en résolvant directement les équations :

$x_A'-x_G$ = $13(xA′−xA)\dfrac{1}{3}(x_A'-x_A)$
$y_A'-y_G$ = $13(yA′−yA)\dfrac{1}{3}(y_A'-y_A)$

Sauf erreur, tu dois trouver $G(23,13)G(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3})$

Pour la propriété de G, tu peux éventuellemnt consulter ici :http://cedric.beltrami.free.fr/mediane.html

@mtschoon Les coordonnées de G sont plutôt 2/3 et 1/3

@mtschoon 1-) Vérifier que GA+GB+GC=0. J'ai bien vérifié et je trouve 0.
2) Calculer la longueur OA, OB et OC.
Je trouve une valeur de $11\sqrt{11}$ pour les trois longueurs.
Que représente O pour le triangle ABC ?
Je répond que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
3-a) Calcule les coordonnées de H tel que ( vecteur sur tout ce qui suit) : OH=OA+OB+OC
Je trouve H( 2;1)
3-b) Montrer que (vecteurs) OH=2OA
J'arrive pas.
3-c) Déduis-en que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
3-d) Détermine le nombre réel k tel que(vecteurs) OH=k×OG
4) Déduis-en que les points O, G et H sont alignés.
Voici les questions auxquelles j'arrive pas à répondre.

@Wil-Fried

Oui pour les coordonnées du point G.

Juste
Refais le calcul $2^2+(-3)^2= ...$
3- a) Juste
3 -b) Vérifie l'énoncé.

Bonjour,

Oui @Wil-Fried , c'est bien $(23,13)(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3})$ pour G

Pour la 2) tu as dû trouver, après rectification, que le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est $13\sqrt{13}$

$H (2, 1)$ est bon pour la 3)a), comme déjà indiqué.

Pour que la suite et fin de l'exercice soit cohérentes (droite d'EULER du triangle) il faudrait montrer pour la 3)b) que :
$AH→=2OA′→\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}$ (à vérifier)

Je joins un schéma ci besoin

@Noemi Merci beaucoup

@mtschoon La représentation m'a aidé. Merci beaucoup

De rien @Wil-Fried
J'espère que m proposition pour la 3)b) est bien celle de ton énoncé.

@mtschoon C'est bien cela. J'avais fais une erreur dans l'écriture..

@Wil-Fried , c'est parfait.

Comme tu as dû conclure, les points O (centre du cercle circonscrit au triangle-intersection des médiatrices), G (centre de gravité-intersection des médianes), H (orthocentre-intersection des hauteurs) sont alignés sur la droite appelée droite d'Euler du triangle.

@mtschoon Merci pour la conclusion. Merci pour la conclusion. Ma conclusion n'était pas top!

@Wil-Fried ,

C'est bien si tout est maintenant clair pour toi.