Besoin d'aide : suite numérique

Bonsoir, veuillez m'aider svp.
$U_n$ = $12+Un−1\frac{1}{2+U_{n-1}}$ et $U_1=1$

Calculer $U_1$ , $U_2$ et $U_3$
$U_1=1$ , $U2=13U_2=\frac{1}{3}$ et $U3=37U_3=\frac{3}{7}$
Étudier la fonction définie par $f(x)=12+xf(x)=\frac{1}{2+x}$
Comme on travail avec les suites, j'ai donc pris comme ensemble de définition $[0;+∞[[0;+\infty[$
J'ai calculé les limites aux bornes de $D_f$ et je trouve : Limite de f en 0 égale à 1/2 et à l'infini égale à 0.
Je trouve ensuite $∀x∈[0;+∞[\forall x \in [0;+\infty[$ $f′(x)=−1(2+x)2f'(x)=\frac{-1}{(2+x)^2}$ donc f est strictement décroissante.
Les limites éventuelles de ( $U_n$ ).
J'ai fais : $12+l=lf(l)=l\iff\frac{1}{2+l}=l$ . Après résolution je trouve $l1=−1−2l_1=-1-\sqrt{2}$ et $l2=−1+2l_2=-1+\sqrt{2}$
$l_1$ et $l_2$ sont donc les limites éventuelles de ( $U_n$ ).
Trouver l'expression $f_of(x)$ puis étudier sa monotonie.
Ce que j'ai fais : $fof(x)=f(f(x))=12+12+x=2+x2x+5f_of(x)=f(f(x))=\frac{1}{2+\frac{1}{2+x}}=\frac{2+x}{2x+5}$
$∀x∈[0;+∞[\forall x\in[0;+\infty[$ , $(fof(x))′=1(2x+5)2>0(f_of(x))'=\frac{1}{(2x+5)^2}\gt0$ donc $f_of(x)$ est croissante.
Résoudre $f_of(l)=l$ .
Je trouve les mêmes $l_1$ et $l_2$ trouvés plus haut.
On pose $V_n=U_{2n}$ et $V_{n+1}=f_of(V_n)$ et $W_n=U_{2n+1}$ et $W_{n+1}=f_of(W_n)$ .
Calculer $V_1$ , $V_2$ , $W_o$ et $W_1$
Je trouve $V1=U2=13V_1=U_2=\frac{1}{3}$ , $V2=717V_2=\frac{7}{17}$ et
$W_o=U_1=1$
Déduis-en la monotonie de $V_n$ et $W_n$ .
Je ne sais quoi faire.
Quelle est alors la limite de la suite $U_n$ ?
Je ne sais quoi répondre.

Pour la question 5, analyse l'évolution des termes :
$V_1$ , $V_2$ , ....
et
$W_1$ , $W_2$ ,....

@Noemi Mes réponses aux questions précédentes sont correctes ?
Pour la question 5 je trouve W0=1 et W1= 3/7 donc Wn est décroissante tandis que Vn est croissante. Juste ?

@Wil-Fried

Oui,

Les réponses aux questions précédentes sont correctes.

@Noemi Alors, la monotonie de Un et Vn définies ici est juste une conjecture c'est bien ça ?

@Wil-Fried

Oui, c'est juste une conjecture.

@Noemi Daacord. Concernant donc la dernière question, quelle est donc la limite de Un.
Je remarques que Vn et Wn sont deux suites extraites de Un.

@Wil-Fried

Pour la limite, tu utilises le résultat des questions 3 et 4, sachant que les termes de la suite $U_n$ sont positifs.

@Noemi La limite est donc -1+ $2\sqrt{2}$

@Wil-Fried

Oui, c'est la réponse attendue.

@Noemi Merci bien.

Bonjour,

@Wil-Fried , je trouve ta preuve bien légère...
Tu as effectivement prouvé que si $U_n)$ converge, elle converge vers $2−1\sqrt 2-1$ mais tu n'as pas prouvé rigoureusement qu'elle converge.

Je t'indique queques éléments pour compléter (mais à organiser correctement, car je n'ai pas tenu compte des questions).
Tes calculs sont exacts mais les raisonnements manquent.

Tu peux justifier très facilement que la suite $U_n)$ donc aussi ses suites extraites , sont à termes positifs.
Alors, les limites possibles après résolutions sur $R$ sont bien $l_1$ et $l_2$ mais tu peux exclure définitivement $l_2$ (valeur strictement négative) dès les questions 3) et 4).
La seule limite possible est $l_1$

Ensuite, il faut prouver les convergences.

f est continue et décroissante sur $R^+$ de 1/2 à 0, donc tu peux justifier que $U_n)$ est bornée ainsi que ses suites extraites.

Analyse des suites extraites.
$V_{n+1}=f o f(V_n)$ et $W_{n+1}=f o f(W_n)$
Il faut prouver que ces suites extraites sont monotones.

Preuve :
$V_{n+1}-V_n=f o f(V_n)-f o f(V_{n-1})$
Vu que tu as démontré que $f o f$ est continue et croissante, $V_{n+1}-V_n$ a même signe que $V_n-V_{n-1}$ c'est à dire même signe que $V_2-V_1$ .
Or, $V2−V1=14V_2-V_1=\dfrac{1}{4}$ donc $V2−V1≥0V_2-V_1 \ge 0$ donc suite $V_n)$ croissante.
Avec la même démarche, tu peux prouver que $W_n)$ est décroissante.

Ces deux suites extraites sont donc monotones et bornées : elles sont donc convergentes.
(Tu peux détailler : une croissante et majorée et l'autre décroissante et minorée)

Vu que, par résolution de $f o f (l) = l$ sur $R^+$ la solution est $l1=2−1l_1=\sqrt 2-1$ , leur limite commune est $l1=2−1l_1=\sqrt 2-1$

Conclusion :
$V_n)$ et $W_n)$ sont convergentes et de limite $l1=2−1l_1=\sqrt 2-1$ , donc $U_n)$ est convergente et de limite $l1=2−1l_1=\sqrt 2-1$

Bonnes réflexions.

@mtschoon Grand merciii à vous!! Merci pour cette explication!

Parfait @Wil-Fried , si tu as bien compris les convergences.