SVP j ai besoin dans un exercice de suites

[Mariem jabloun]

Bonjour , j ai des difficultés a répondre a ces questions
Un est une suite réelles a termes positifs ,définie sur N par
U0=√2
Un+1=(1+√(1+Un^2))/(Un)
pour tout n appartient a N,il existe Xn qui appartient a ]-pi/2,pi/2[ tel que Un=tanXn
a/ vérifier que tan(x/2)=tanx/(1+√(1+tanx^2))
b/ en déduire que Xn+1=(-1/2)Xn+(pi/2)

[Black-Jack]

Bonjour,

a)

1 + tan²(x) = 1 + sin²(x)/cos²(x) = (sin²(x) + cos²(x))/cos²(x) = 1/cos²(x)

V(1 + tan²(x)) = 1/cos(x) (car cos(x) > 0 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[)

1 + V(1 + tan²(x)) = 1 + 1/cos(x) = (1 + cos(x))/cos(x) = 2cos²(x/2)/cos(x)

tan(x)/(1 + V(1 + tan²(x))) = tan(x)/(2cos²(x/2)/cos(x)) = tan(x)*cos(x)/(2.cos²(x/2))

tan(x)/(1 + V(1 + tan²(x))) = sin(x)/(2.cos²(x/2))

tan(x)/(1 + V(1 + tan²(x))) = 2sin(x/2).cos(x/2)/(2.cos²(x/2))

tan(x)/(1 + V(1 + tan²(x))) = sin(x/2)/cos(x/2)

tan(x)/(1 + V(1 + tan²(x))) = tan(x/2) ... pour x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[

[mtschoon]

Bonjour,

@Mariem-jabloun , piste pour b) pour le cas où tu n'y serais pas arrivée.

Tu sais que (question a) )
$tan\frac{x}{2}=\frac{tanx}{1+\sqrt{1+ta{n}^{2}x}}$

Tu prends $x=X_n$

$tan\frac{X_n}{2}=\frac{tan{X}_n}{1+\sqrt{1+ta{n}^2{X}_n}}$

$tan\frac{X_n}{2}=\frac{U_n}{1+\sqrt{1+U_n^2}}$

$tan\frac{X_n}{2}=\frac{1}{U_{n+1}}$

$tan\frac{X_n}{2}=\frac{1}{tan(X_{n+1)}}$

$tan(X_{n+1})=\frac{1}{tan(\frac{X_n}{2})}$

Pour terminer, il faut que tu utilises la propriété trigonométrique relative aux angles complémentaires $tan(\frac{\pi }{2}-x)=\frac{1}{tanx}$
Si cette proprété est dans ton cours, tu l'utilises directement , sinon tu la prouves en passant par les sinus et cosinus.

D'où : $tan(X_{n+1})=tan(\frac{\pi }{2}-\frac{X_n}{2})$

Vu que tu travailles sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, tu en déduis la conclusion souhaitée.

Bon travail.