Suites adjacentes, suites convergentes, limites

Bonjour à tous j’aurais besoin d’aide pour un dm de maths
urgent !!!

fl

On dit que deux suites (un ) et (Vn) sont adjacentes si et seulement si :

-(Un) est croissante - (vn) est décroissante et lim(Vn-Un) = 0

-1) Soient (un) et (Vn) deux suites adjacentes.

A) En posant la suite (Wn) définie pour tout entier naturel n par Wn = Vn-Un, montrer que Vn>Un.

B) Montrer que (Un) et (Vn) sont convergentes et en déduire qu'elles ont la même limite.

C)Montrer que pour tout n entier naturel, Un</<Vn

Soient (Un) et (Vn) deux suites définies pour tout entier naturel non nul par :

Un=1+ 1/1! + 1/2! +…1/n!

Vn = Un+ 1/n x n!

On a n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n

A) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
B)En déduire qu'elles sont convergentes
C) En prenant n=10, déterminer un encadrement de la limite.
D) Quelle semble être cette limite qui est un nombre

@denissa Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@Noemi

J’ai réussi les deux premières questions mais à partir de là je n’y arrive plus .

@denissa

La question C) découle des questions A) et B).

@Noemi

Oui mais je n’arrive pas à la comprendre pourriez vous m’aider svp

@denissa

La suite $U_n)$ est croissante et admet pour limite $l$ , donc $Un<lU_n\lt l$
La suite $V_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$ donc $Vn>lV_n\gt l$

@Noemi
Merci beaucoup !

Parcontre pour la partie 2 je ne sais pas du tout comment m’y prendre

@denissa
Utilise la définition.
Cherche les variations de $U_n)$ et $V_n)$ puis la limite de $V_n-U_n$ .

Bonjour,

@denissa , si besoin, pour pouvoir vérifier tes calculs, je te donne des résultats.
Bien sûr, il faut que tu t'habitues à la notion de n! (factorielle de n )

Après calcul et simplification tu dois trouver :

$Un+1−Un=1(n+1)!U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{(n+1)!}$
Tu tires la conclusion sur le sens de variation de $U_n)$

$Vn+1−Vn=−1n(n+1)(n+1)!V_{n+1}-V_n=\dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!}$
Tu tires la conclusion sur le sens de variation de $V_n)$

$Vn−Un=1n.n!V_n-U_n=\dfrac{1}{n.n!}$
Tu tires la conclusion sur la limite de $V_n-U_n$ lorsque n tend vers $+∞+\infty$

Lorque tu auras fait tout cela, tu auras prouvé que $U_n)$ et $V_n)$ sont adjacentes et tu pourras déduire des conclusions.