Fonction, suite, raisonnement par récurrence, convergence et limite

bonjour ,
J'ai vraiment de difficultés avec cette exercice de math.
pourriez vous m'aidez s'il vous plait.
merci d'avance!

exercice:
Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
C. Démontrer que la suite (Un) converge
d. Déterminer la limite L de cette suite

j'ai fait la (a) est jai trouvé
f(x)= 3- 1/X+1
f'(x)= 1/ (X+1)^2 >0
donc f est croissante.
il me reste alors la b,c et d a faire mais j'y arrive pas.

@mel04 Bonjour,

Le début est juste.
Propose le raisonnement par récurrence.

Ce message a été supprimé !

le point a j'ai réussi mais la les 3 points qui rest j'arrive pas je suis bloqué.

@mel04

La question b) demande de démontrer par récurrence que $un≥0u_n\geq0$ .
Initialisation, tu vérifies que cette relation est vraie pour $n = 0$ ( $\geq 0$ );
Hérédité, tu supposes que la relation est vraie à l'ordre $n$ et tu la démontres à l'ordre $n + 1$ en utilisant le fait que la fonction $f$ est croissante.

d'accord merci je vais essayer.

Bonjour,

@mel04 ; merci d'avoir écrit l'énoncé comme je te l'ai suggéré vu que les scans d'énoncés ne sont pas autorisés.

@mel04 , pour te faire une idée du signe et du sens de variation de la suite $U_n)$ , bien que ce ne soit pas demandé dans l'énoncé, je te conseille de calculer les premiers termes.
$U_0=5$
$U1≈2.833U_1\approx 2.833$
$U2≈2.739U_2\approx 2.739$
$U3≈2.732U_3\approx 2.732$
....

Pour démontrer que $Un≥0U_n\ge 0$ , tu as déjà la piste .

L'initialisation est évidente vu que $U_0=5$
Pour l'hérédité, tu peux transformer $U_{n+1}$

$Un+1=3−1Un+1=3(Un+1)−1Un+1=3Un+2Un+1U_{n+1}=3-\dfrac{1}{U_n+1}=\dfrac{3(U_n+1)-1}{U_n+1}=\dfrac{3U_n+2}{U_n+1}$
Vu que, avec l'hypothèse de la récurrence, $Un≥0U_n\ge 0$ , tu dois pouvoir facilement prouver que $Un+1≥0U_{n+1}\ge 0$

Reposte si besoin.

@mtschoon
Bonjour, avec plaisir.
Vous voulez dire que si j’écris ça ce sera bon pour le b?

@mel04 pour le b), il faut compléter grandement !

D'abord, pour la récurrence débutée, il faut expliquer pourquoi $U_{n+1}$ est positif sachant que $U_n$ est positif.

J'ignore si tu l'as fait.
Il faut que tu indiques , à la façon de ton choix, que $U_n$ étant positif (hypothèse de la récurrence) , en multipliant pat 3 et en ajoutant 2, le numérateur $3U_n+2$ est positif
Tu justifies aussi que le dénominateur est strictement positif, donc que le quotient $3Un+2Un+1\dfrac{3U_n+2}{U_n+1}$ est positif d'où la conclusion souhaitée.

Ensuite, toujours dans le b) , il faut déterminer le sens de variation de la suite.

Avec les calculs du début, tu peux conjecturer que cette suite est décroissante.

Un raisonnement par récurrence peut le prouver.

Initialisation : tu justifies que $U1≤U0U_1\le U_0$

Hérédité.

Tu supposes que, à un ordre n, $Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ et tu prouves que $Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$

La preuve est facile vu que tu as démontré que la fonction f est croissante.

Vu que f est croissante, l'ordre est conservé :
$Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ implique que $f(Un+1)≤f(Un)f(U_{n+1} ) \le f(U_n)$ c'est à dire $Un+2≤Un+1U_{n+2}\le U_{n+1}$

Revois tout ça de près

@mel04 ,

Lorque tu auras bien justifié ce qui est demandé au b), tu pourras tirer des conclusion (voir cours) :
La suite $U_n)$ est à termes positifs donc minorée par 0 et décroissante , don convergente.

Il te restera à trouver la valeur de cette limite.

Reposte si besoin.

Bonjour,

Pour consultation éventuelle (car je pense que @mel04 a terminé(e) seul(e) son exercice depuis plusieurs jours).

Soit $l$ la limite de la suite convergente $U_n)$

Vu que f est continue sur $+\infty[$ et que $U_n)$ converge vers $l$ , on déduit que : $f (l) = l$

Nécesairement $l≥0l\ge 0$ (suite à termes positifs)

$f (l) = l$ <=> $\dfrac{3l+2}{l+1}$ <=> $l (l + 1) = 3 l + 2$ c'est à dire :

$l^2-2l-2=0$

Après résolution : $l=1+3l=1+\sqrt 3$ ou $l=1−3l=1-\sqrt 3$

Vu que $l≥0l\ge 0$ , la seule solution est $l=1+3l=1+\sqrt 3$

$lim⁡n→∞Un=1+3\boxed{\displaystyle \lim_{n\to \infty }U_n=1+\sqrt 3}$

Bonne lecture éventuelle.