Equation cercle coordonnées point intersection


  • Joyca Le Boss

    @Joyca-Le-Boss
    3)L’équation suivante est-elle celle d’un cercle ?
    𝑥²+𝑦²−4𝑥+9𝑦−5=0
    Si oui, précise son centre, son rayon et donne l’équation explicite de celui-ci

    1. Détermine la coordonnée des éventuels points d’intersection entre le cercle de centre C :(-3,5) et de rayon 2 et la droite passant par les points A :(0,1) et B :(-2,2).

    2. En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, déterminer l’ordonnée du point C d’abscisse -2 tel que le triangle ABC soit rectangle en A si A :(1,-4) et B :(-2,5)


  • N
    Modérateurs

    @Joyca-Le-Boss

    Ces questions ont été déplacées pour alléger le post.
    Question 3, Il faut écrire l'équation sous la forme : (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2(xa)2+(yb)2=R2
    (x−2)2−4+(y+92)2−814−5=0(x-2)^2-4+(y+\dfrac{9}{2})^2-\dfrac{81}{4}-5= 0(x2)24+(y+29)24815=0
    ....
    Je te laisse poursuivre


  • mtschoon

    Bonjour

    @Joyca Le Boss, Je t'avais conseillé sur ce topic joint où tu avais posté un exercice avec 7 questions, de séparer les questions pour éviter un topic trop long.
    Il aurait fallu le faire maintenant...

    https://forum.mathforu.com/topic/32299/les-équations-de-la-droites-parallélisme-et-perpendicularité/3

    Pour la question 3), je pense que tu as trouvé qu'il s'agit du cercle de centre I(2,−92)I(2,-\dfrac{9}{2})I(2,29) et de rayon R=1172R=\dfrac{\sqrt{117}}{2}R=2117

    Piste pour la question 4)

    Equation du cercle (E) de de centre C(−3,5)C(-3,5)C(3,5) et de rayon 222 :
    (x+3)2+(y−5)2=4(x+3)^2+(y-5)^2=4(x+3)2+(y5)2=4

    Tu peux éventuellement développer et transposer et obtenir :
    x2+y2+6x−10y+30=0x^2+y^2+6x-10y+30=0x2+y2+6x10y+30=0

    Equation de la droite (D) passant par les points A (0,1) et B (-2,2).

    Je t'ai donné une méthode (il y en a d'autres) dans l'exercice du lien joint (question b).
    Donc, tu dois savoir faire (relis la réponse éventuellement).
    Tu dois trouver, sauf erreur :
    y=−12x+1y=-\dfrac{1}{2}x+1y=21x+1

    Pour étudier l'intersection de (E) avec (D), tu résous de système composé des équations de (E) avec (D)

    {x2+y2+6x−10y+30=0y=−12x+1\begin{cases}x^2+y^2+6x-10y+30=0\cr y=-\dfrac{1}{2}x+1\end{cases}x2+y2+6x10y+30=0y=21x+1

    Tu peux résoudre par substitution en remplaçant yyy par −12x+1-\dfrac{1}{2}x+121x+1 dans la première équation.
    Tu obtiendras ainsi une équation du second degré d'inconnue xxx
    Pour résoudre, en calculant le discriminant Δ\DeltaΔ, sauf erreur, tu trouveras Δ\DeltaΔ strictement négatif, donc équation impossible.

    Conclusion : il n'y a pas de points d'intersection entre (E) et (D) (ce qui justifie le terme "éventuellement" de la question.)

    Illustration graphique :
    DroiteCercle.jpg

    Remarque : au lieu de passer par le système d'équations, si tu connais (?) la formule donnant la distance ddd d'un point à une droite, tu peux trouver que la distance du point CCC à la droite (D)(D)(D) est strictement supérieure à 2, d'où : pas de point d'intersection.

    Revois tout ça et passe à la question 5).


  • mtschoon

    @Joyca-Le-Boss ,

    Autre façon (beaucoup plus rapide ! ) pour répondre à la 4) en connaissant la formule donnant la distance ddd d'un point de coordonnées (x0,y0x_0,y_0x0,y0) à une droite (D) d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0 (avec (a,b)≠(0,0))(a,b)\ne (0,0))(a,b)=(0,0)), en repère orthonormé bien sûr .

    d=∣ax0+by0+c∣a2+b2\boxed{d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}d=a2+b2ax0+by0+c

    Dans ta question : C(−3,5)C(-3,5)C(3,5) donc x0=−3x_0=-3x0=3 et y0=5y_0=5y0=5

    La droite passant par A et B :
    y=−12x+1y=-\dfrac{1}{2}x+1y=21x+1 <=>y+12x−1=0y+\dfrac{1}{2}x-1=0y+21x1=0

    En multipliant par 2 pour faire plus simple : x+2y−2=0x+2y-2=0x+2y2=0

    on prend a=1a=1a=1 et b=2b=2b=2

    d=∣−3+2(5)−2∣12+22=55=5d=\dfrac{|-3+2(5)-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{5}{\sqrt 5}=\sqrt 5d=12+223+2(5)2=55=5

    5≈2.236\sqrt 5\approx 2.23652.236 donc 5>2\sqrt 5\gt 25>2 c'est à dire d>R\boxed{d\gt R}d>R

    La distance du point C à la droite (AB) étant strictement supérieure au rayon du cercle , la droite ne peut pas rencontrer le cercle.

    Cette méthode évite de chercher l'équation du cercle et de résoudre le système "cercle-droite", mais évidemment , tu ne peux l'utiliser que si cette formule figure dans ton cours...


  • mtschoon

    Illustration graphique

    CM=2CM=2CM=2
    CH=5CH=\sqrt 5CH=5

    DroiteCercleBis.jpg


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