exercice mathématiques congruence

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les congruences et je bloque complètement, le voici:

On considère l'équation (E):x^3-6x^2=2021 d'inconnue x appartient à Z.
a) Déterminer les diviseurs d de 2021 tels que /d/ inférieur ou égale à sqrt(2021)
b) Supposons que x appartient à Z soit une solution de (E). Montrer que x^2 est un diviseur de 2021
c) Déduire des deux questions précédentes les valeurs possibles de x
d) Déterminer l'ensemble des solutions de (E)
On considère l'équation (F)=x^3-6y^2=2021 d'inconnue (x;y) appartenant a Z deux
a) Soit n appartenant a Z, a l'aide des tableaux de congruences, déterminer les restes possibles pour n^3 puis pour 6n^2 modulo 9.
b) Soit (x;y) appartenant à Z deux. Déterminer les restes possibles de x^2-6y^2 modulo 9.
c). Déterminer l'ensemble des solutions de(F)
J'ai beaucoup de mal avec ce chapitre et après pas mal de temps passé au brouillon je bloque toujours à la question 1...Pourriez-vous me donner quelques pistes ?

@Celia Bonjour,

$43\times 47$
donc les diviseurs de 2021 sont ....

@Noemi
Bonjour,
Merci pour votre aide.
Les diviseurs de 2021 sont donc 1;43;47 et 2021 ?
Comme /d/ doit être inférieur ou égal à racine carré de 2021 les diviseurs sont 1 ou 43 ?
Merci d’avance

@Celia

C'est correct.

@Noemi
Bonjour,
Merci beaucoup.

Pour la question 2 je ne suis pas sûr de comprendre, si x/2021 alors x^2 /2021 donc x^2 divise x^3-6x^2 ?

Merci d’avance pour votre aide

@Celia

$x^3-6x^2= x^2(x-6)$ donc ....

@Noemi
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide.
donc x² divise x²(x-6) et donc x² est un diviseur de 2021 ?
Je cherche comment faire pour déduire les valeurs possibles de x, faut il faire un calcul ou bien en déduire que c 1 et 43 comme se sont les diviseurs de 2021 ?

@Celia
Bonjour,
J'ai essayé de trouver 2021 en faisant 1²(2027-6)= 2021 donc x = 1 et 2027 mais je pense qu'en faite x doit être égale au même nombre donc que cela ne fonctionne pas.
Merci d'avance pour votre réponse.

@Celia

La seule valeur possible est 1, puisque 43 n'est pas un carré.

en réalité je ne comprends pas bien cette question et comment en trouver la réponse, pourriez-vous m'expliquer ? De plus, pourquoi il y a qu'une solution alors que l'énonce
dit "les valeurs possibles de x"...

@Celia

D'après le résultat de la question 1, tu as deux valeurs possibles pour diviseur de 2021 : $1$ et $43$ ,
D'après la supposition de la question 2, si $x$ est solution, $x^2$ est aussi solution
Le seul carré possible dans les diviseurs est 1.
Mais Il est évident que 1 ne peut pas être solution de l'équation, dans l'ensemble Z, donc (E) n'a pas de solution dans Z.

@Noemi
Bonjour, merci beaucoup pour votre aide je pense avoir compris, j'ai continué l'exercice. A la question 2)a: j'ai trouvé que les restes possible módulo 9 de n³ sont 0,1 et 8 et ceux de 6n² sont 0et 6.
On me demande ensuite de déterminer les restes possible de x³-6y² mais je ne sais pas comment m'y prendre je doit soustraire les restes que j'ai trouvé à la question précédente ?
Merci d'avance pour votre aide .

@Celia

Oui, soustrait les restes.

@Noemi
Merci,
J'ai trouvé que les restes possible était 0,1,8,-6,3,-5,4 et ,2
mais je n'arrive pas à trouver l'ensemble des solutions (F) en essayant de remplacer x et y par les restes, je ne sais pas si c'est la bonne méthode.

@Noemi
Bonjour,
Je pense avoir trouvé pour la dernière question.
2021= 9x224+5
2021 congrue a 5 módulo 9
x³-6x² ne congrue pas à 5 módulo 9 dons (F) n'admet pas de solution.
Pouvez vous me dire si cela vous semble juste ?
Encore merci pour l'aide que vous m'avez apporté tout au long de l'exercice, je vais le reprendre du début pour vérifier que j'ai bien compris

@Celia

L'ensemble semble juste. C'est la valeur 2021 qui ne permet pas d'avoir de résultat aux équations.