Solutions d'une équation complexe
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Mariem jabloun dernière édition par Noemi
Bonjour
j ai des difficultés a répondre a la question suivante
z'=(iz+1)/(z+1)
F: (iz+1)^3=(z+1)^3
montrer que si z est une solution de F alors z est reel
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@Mariem-jabloun Bonjour,
Cherche les solutions de l'équation F.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour/bonsoir,
@Mariem-jabloun , une piste en utilisant z′z'z′ qui sert d'inconnue auxiliaire.
Condition z≠−1z\ne -1z=−1 , z′=iz+1z+1z'=\dfrac{iz+1}{z+1}z′=z+1iz+1
Pour z≠−1z\ne -1z=−1 F peut s'écrire :
(iz+1z+1)3=1\biggr(\dfrac{iz+1}{z+1}\biggr)^3=1(z+1iz+1)3=1 , c'est à dire (z′)3=1(z')^3=1(z′)3=1z′z'z′ est donc racine cubique de 1
Les 3 racines cubiques de 1 sont :
111
j=−12+i32j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}j=−21+i23
j‾=−12−i32\overline{j}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}j=−21−i23Il te reste donc à résoudre les 3 équations :
iz+1z+1=1\dfrac{iz+1}{z+1}=1z+1iz+1=1
iz+1z+1=−12+i32\dfrac{iz+1}{z+1}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}z+1iz+1=−21+i23
iz+1z+1=−12−i32\dfrac{iz+1}{z+1}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}z+1iz+1=−21−i23Bons calculs.
Remarque : vois à part le cas z=−1z=-1z=−1
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Il me semble qu'il y a un soucis.
z = (-3 +/- V3)/(1+i) sont solutions de F (en plus de z = 0) et ... z n'est pas réel comme dit dans l'énoncé.
Me trompé-je ?
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonsoir,
Tout à fait !
Les 3 solutions de F, sauf erreur, sont :
000 , −(3+3)2+3+32i\dfrac{-(\sqrt 3+3)}{2}+\dfrac{\sqrt 3+3}{2}i2−(3+3)+23+3i , 3−32−3−32i\dfrac{\sqrt 3-3}{2}-\dfrac{\sqrt 3-3}{2}i23−3−23−3i
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Black-Jack , j'ai dit "tout à fait" à ce que tu indiques sur les solutions.
La question demandée dans l'énoncé écrit laisse ... perplexe.... !
