TANGENTE COMMUNE DÉRIVATION 1er

Bonjour, j’aurai une petite question.
Pourquoi ne il ne peut pas y avoir de tangente commune entre la courbe d’une fonction cube et la courbe d’une fonction inverse ?
Merci pour votre réponse

@julielatortue , bonjour/bonsoir,

Si j'ai bien compris ton énoncé :
$f(x)=x^3$ , de représentation graphique (Cf)
$g(x)=1x3g(x)=\dfrac{1}{x^3}$ , de représentation graphique (Cg)

Piste,

Tu peux faire un raisonnement par l'absurde

Soit (T) une tangente commune à (Cf) et (Cg).
Cela veut dire qu'il existe un point $A$ de coordonnées $(a, f (a)$ ) de (Cf) et un point $B$ de coordonnées $(b, g (b))$ de (Cg) ayant la même tangente (T)

Le coefficient directeur d'une tangente est le nombre dérivé.
Il faudrait donc que $f^{'} (a) = g^{'} (b)$

Avec les formules usuelles, tu calcules f(x) et g'(x).
Tu dois trouver $f'(x)=3x^2$ et $g′(x)=−3x4g'(x)=\dfrac{-3}{x^4}$

Ensuite, tu prouves que l'équation $f^{'} a) = g^{'} (b)$ est impossible.

Reposte si tu n'y arrives pas

@mtschoon
Je ne pensais pas qu’il fallait passer par le calcul,
Je ne comprends pas vraiment

@julielatortue , oui, il faut faire le calcul , mais tu ne l'as pas fait, et il faut aussi raisonner.

J'espère déjà que tu as compris le lien entre la notion de coefficient directeur de la tangente et le nombre dérivé.
Sinon, revois ton cours.

As-tu fait le calcul des dérivées ? tu ne le dis pas...

Si c'est le cas, tu as trouvé $f'(x)=3x^2$ et $g′(x)=−3x4g'(x)=\dfrac{-3}{x^4}$
f est définie/dérivable sur $R$ et g est définie/dérivable sur $R^*$

Nécessairement, $b≠0b\ne 0$ (dénominateur non nul)

$f^{'} (a) = g^{'} (b)$ <=> $3a2=−3b43a^2=\dfrac{-3}{b^4}$

Le membre de gauche est positif car 3 est strictement positif et $a^2$ est positif (car exposant pair) (le produit est donc positif).

La membre de droite est strictement négatif car -3 est strictement négatif et $b^4$ est strictement positif (car exposant pair et b non nul ) (le quotient est donc strictement négatif)

L'égalité $f^{'} (a) = g^{'} (b)$ est donc impossible, d'ou la réponse.

Revois cela de près et redemande si besoin.

@julielatortue , lorsque tu auras bien assimilé l'étude du cas de ton exercice où il n'y a pas de tangente commune, tu pourras si tu le souhaites, voir un exercice où il y a une tangente commune dont on cherche l'équation.
Dans ce cas il y a plus de travail de calcul, bien sûr.

Ansi, tu auras vu les deux cas possibles.

Si ça t'intéresse, je te mets un lien :
https://www.youtube.com/watch?v=HAnG461B_y0

Bonne lecture éventuelle.

@mtschoon d’accord merci beaucoup j’ai relus vos explications aujourd’hui et je comprends mieux. De plus merci pour ces suppléments.

Par contre, la fonction inverse dans mon cas est égale à 1/x et sa dérivée est donc -1/x**2
Est ce que la réponse globale ( qu’il n’y ai pas de tangente commune) restera bien toujours la même?
Merci

@julielatortue ,

Ce n'était donc pas la fonction g(x)=\dfrac{1}{x^3$ dont tu parlais mais de la fonction $g(x)=1xg(x)=\dfrac{1}{x}$

Dans ce cas, comme tu l'indiques, $g′(x)=−1x2g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

Le raisonnement est exactement le même (et la réponse aussi) vu que tu dois raisonner sur $3a2=−1b23a^2=-\dfrac{1}{b^2}$

@mtschoon d’accord

@mtschoon
J'ai posté un autre problème, j'aime beaucoup la facon dont vous expliquez.
Pourriez-vous y répondre?
https://forum.mathforu.com/post/659673

j'epère @julielatortue , que maintenant tout est clair pour toi.

@mtschoon oui merci j'ai tout compris

C'est parfait @julielatortue .