Tangente communes dérivation

[julielatortue]

Bonjour, pourriez-vous m’aider et me guider sur cet exercice

C’est le graphique d’une courbe C qui a une fonction carrée f(x)= x^^2
Et une courbe C’ qui a une fonction cube g(x)= x^^3
On a alors:
L’équation de la tangente à C en a
L’équation de la tangente à C’ en b

1. Quelle tangente commune évidente peut-on donner?

2. Peut-il y en avoir une seconde? Sur quel intervalle?
   Tracer la au mieux sur le graphique

3. Justifier par le calcul toutes ces conjectures

[julielatortue]

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[Black-Jack]

Détermine les équations de la tangente à C au point d'abscisse a et de la tangente à C' au point d'abscisse b.

Tu devrais trouver :

Ta : y = 2a.x - a²
Tb : y = 3b².x - 2b³

Ces tangentes sont identiques si
1°) a = b = 0 (équation des tangentes : y = 0)

2°) si le système :
2a = 3b²
a² = 2b³

a des solutions ...

Donc cherche si on peut trouver une valeur de a et une valeur de b (différentes de 0) telles que ce soit le cas.

...

[julielatortue]

@Black-Jack
D'accord merci, j'ai pu mettre la photo, mais pour la question 1 et 2 je ne vois pas deux tangentes et je ne comprends pas "sur quel intervalle"

[julielatortue]

je trouve comme équation de la tangente pour la fonction cube:
Tb= 3b^^2x-3b^^3+b^^2
Je crois que ce n'est pas normal mais je ne vois pas comment simplifier

[Noemi]

@julielatortue Bonjour,

La résolution du système indiqué par Black-Jack permet de déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
Vérifie et/ou indique tes calculs.

[julielatortue]

Est ce que l’équation de la tangente pour la fonction cube est bien égale à : 3b^^2x-2b^^3 ?

[julielatortue]

@Noemi
Bonjour, d’accord merci

[mtschoon]

Bonsoir,

@julielatortue , je peine à comprendre où tu en es exactement...
IL semble que tu aies commencé la question 3 sans avoir répondre aux deux premières.
A la question, 1," Quelle tangente commune évidente peut-on donner?" , regade le graphique ;
Au point O, l'axe des abscisses est tangente à la fois à C et à C'.
Donc , la tangente commune évidente graphiquement est l'axe des abscisses d'équation y=0.

A la question 2, pour savoir sur quel intervalle il peut y voir une tangente commune à C et à C' : regarde encore le graphique.

Pour x<0, la fonction f est croissante (donc dérivée positive) alors que la fonction g est décroissante ( donc dérivée négative) .
Il ne peut donc pas y avoir de points où il y a aurait de tangente commune vu que les dérivées sont de signe contraire.
Par contre, pour x>0, les deux fonctions sont croissantes (dérivées positives donc de même signe ; c'est donc sur l'intervalle $]0,+\infty [$, qu'il est possible de trouver une tangente commune à C et à C'.

[mtschoon]

Pour la 3), tu as déjà eu de l'aide pour les équations des tangentes , mais tes propositions de calculs me semblent bizarres.

Regarde ton cours.
Tangente à C au point d'abscisse a : y=f'(a)(x-a)+f(a)
$f(a)=a^2$
$f^{\prime }(a)=2a$
donc $y=2a(x-a)+a^2$
En développant : $y=2ax-2a^2+a^2$, c'est à dire :
$y=2ax-a^2$

Même principe pour la tangente à C' au point d'anscisse b :
y=g'(b)(x-b)+f(b)
Fais le calcul et tu trouveras ce qui t'a déjà été indiqué :
$y=3b^{2}x-2b^3$

Lorsque tu auras bien fait cela, il te faudra trouver a et b pour lesquels les deux tangentes sont confondues , c'est à dire ont la même équation réduite, c'est à dire
$y=2ax-a^2$ indentique à $y=3b^{2}x-2b^3$, c'est à dire, comme déjà indiqué :
$\{\begin{array}{l}2a=3b^2\\ a^2=2b^3\end{array}$
(pense à raisonner par substitution)

Bons calculs.

[julielatortue]

@mtschoon
Oh oui d’accord je comprends mieux merci

[julielatortue]

@mtschoon
Pour la question 3, une fois finis je pourrais vous envoyer mes calculs ?
Merci pour les réponses aux questions 1 et 2 !!

[julielatortue]

@mtschoon Suis-je sur la bonne piste ?

[mtschoon]

@julielatortue , je pense que tu n'as pas bien compris l'identification à faire. IL ne dois pas y avoir de x dans le système à résoudre.

La tangente commune, lorsqu'elle existe, s'écrit $y=2ax-a^2$ et $y=3b^{2}x-2b^3$
C'est à dire : pour tout $x$, $2ax-a^2=3b^{2}x-2b^3$

Par identification:
les coefficients de x sont égaux : $2a=3b^2$
les termes constants sont égaux c'est à dire $-a^2=-2b^3$, c'est à dire $a^2=2b^3$

Tu dois donc, comme déjà dit, trouver a et b vérifiant :
$\{\begin{array}{l}2a=3b^2\\ a^2=2b^3\end{array}$

La première équation permet d'écrire : $a=\frac{3}{2}{b}^2$

En remplaçant dans la seconde :
$(\frac{3}{2}{b}^2{)}^2=2b^3$ c'est à dire $\frac{9}{4}{b}^4=2b^3$

En transposant dans le membre de gauche : $\frac{9}{4}{b}^4-2b^3=0$

Tu factorises en mettant $b^3$ en facteur et tu continues.

Tu dois trouver ainsi deux valeurs de $b$ qui conviennent et tu en déduis les valeurs de $a$ associées

Reposte si besoin.

[mtschoon]

@julielatortue , pour que tu puisses vérifier tes calculs, je t'indique les résultats à trouver.

Ce ne sont que les résultats, il faut que tu fasses TOUS LES CALCULS.

$b^3(\frac{9}{4}b-2)=0$ <=>$b=0$ ou $b=\frac{8}{9}$

1er cas : Pour $\boxed{b=0}$, $\boxed{a=0}$
La tangente commune correspondante est la droite d'équation $\boxed{y=0}$(axe des abscisses)

Le point de contact de cette tangente aux deux courbes est le point O(0,0).
C'est ce qui avait été vu sur le graphique (question 1)

2ème cas : Pour $\boxed{b=\frac{8}{9}}$, $\boxed{a=\frac{32}{27}}$
La tangente commune correspondante (T) a pour équation
$\boxed{y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}}$

Le point de contact de cette tangente (T) à la courbe (C) est $A(\frac{32}{27},(\frac{32}{27}{)}^2)$

Le point de contact de cette tangente (T) à la courbe (C') est $B(\frac{8}{9},(\frac{8}{9}{)}^3)$

Remarque : les points A et B ont des abscisses strictement positives (c'est ce qui avait été indiqué, par lecture graphique, à la question 2)

Bons calculs.

[mtschoon]

Illustration graphique.

Axe des abscisses (en rouge) Tangente commune. équation $y=0$
Point de contact O avec les deux courbes.

Tangente commune (T) (en rouge) d'équation $y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}$
Point de contact de (T) avec (C) ( en vert) : A
Point de contact de (T) avec (C') ( en bleu) : B

[julielatortue]

@mtschoon
Merci beaucoup de m’avoir guidée je viens de refaire mes calculs à tête reposée et je trouve exactement comme vous. Merci pour vos explications toujours complètes et claires.

[mtschoon]

@julielatortue , c'est parfait si tu as tout trouvé.

Tu as bien fait de prendre ton temps.
Lorsqu'on veut aller trop vite, on manque parfois de réflexion et on peut faire des erreurs.

Tu as bien travaillé !

Bonne fin de dimanche.