Récurrence, convergence et limite

Bonsoir pouvez-vous m’aider à cet exercice svp

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0;4] par:
f(x)=(2+3x)/(4+x)

Parti À : on considère que la suite (Un) définie par:
U0=3 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
On admet que cette suite est bien définie.

calculer U1. Ma réponse : U1= 2+3*3/4+3 = 11/7
montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0;4]. Ma réponse : J’ai calculer la dérivée et j’ai étudié le signe . J’ai trouvé que f est croissante
Montrer que pour tout entier naturel N, par récurrence 1 < ou = Un+1 <ou= Un <ou= 3 :
Pouvez-vous m’aider pour l’hérédité svp
a. Montrer que la suite est convergente. Je sais qu’il fait utiliser le théorème des convergences monotones mais jsp comment l’utiliser.
b. On admet que l la limite de la suite (Un) vérifie l= (2+3l)/(4+l) . Déterminer la valeur de la limite l.

Partie B:
On considère la suite (Vn) définie par :
V0=0,1 et pour tout entier naturel n, Vn+1=f(Vn).

je l’ai faite c’est sur un document en annexe.
a. Montrer que pour tout entier naturel n, 1 - Vn+1 = (2/4+Vn)(1-Vn).
b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0<ou= 1-Vn <ou= (1/2)^n.
la suite (Vn) converge-t’elle ? Si oui, préciser sa limite.

Si vous pouvez m’aider svpp
Merci

@RK Bonjour,

Pour l'hérédité,
A partir de $1≤Un+1≤Un≤31\leq U_{n+1} \leq U_n \leq 3$ , tu utilises le fait que la fonction est croissante.
Soit
$f(1)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)f(1)\leq f(U_{n+1}) \leq f(U_n) \leq f(3)$ ,

Je te laisse poursuivre.

@Noemi

f(1)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
Or f(1) = 1 ; f(Un+1)= Un+2 ; f(Un)=Un+1 ; f(3)=11/7
1 ≤(Un+2)≤(Un+1)≤11/7 ≤3
donc la propriété est héréditaire

Mercii

@Noemi

Et pouvez-vous m’expliquer pour l’hérédité de la partie B de la question 2b svp

@RK

Applique le même raisonnement.
La relation est-elle : $1−Vn+1=(24+Vn)(1−Vn)1-V_{n+1}=(\dfrac{2}{4+V_n})(1-V_n)$ ?

@Noemi
Oui mais après je ne sait pas comment continuer

@RK

a. $V_{n+1} = 1- f(V_n) =1- \dfrac{2+3V_n}{4+V_n}=2(\dfrac{1−Vn} {4+V_n})$ .
b. $\leq 1−V_n \leq 0,5^n$ ;
$Vn≥1−0,5n>0V_n\geq 1-0,5^n\gt0$
$4+Vn>44+V_n\gt4$
$14+Vn<.....\dfrac{1}{4+V_n} \lt .....$

Je te laisse poursuivre.

@Noemi
Donc 2/4+Vn * 0<ou= (2/4+Vn)(1-Vn)<ou=(1/2)^n(2/4+Vn)
<=> 0 <ou= (2/4+Vn)(1-Vn)<ou=(1/2)^n(2/4+Vn)
<=> 0 <ou= 1-Vn+1 <ou=(1/2)^n*(2/4+Vn)

Mais je n’arrive pas à calculer (1/2)^n*(2/4+Vn)

@RK

b. $\leq 1−V_n \leq (\dfrac{1}{2})^n$ ;
$Vn≥1−(12)n>0V_n\geq 1-(\dfrac{1}{2})^n\gt0$
$4+Vn>44+V_n\gt4$
$14+Vn<14\dfrac{1}{4+V_n} \lt \dfrac{1}{4}$

$2(1−Vn4+Vn)<2×14×(12)n2(\dfrac{1-V_n}{4+V_n}) \lt2\times \dfrac{1}{4}\times (\dfrac{1}{2})^n$

$2(1−Vn4+Vn)<(12)n+12(\dfrac{1-V_n}{4+V_n}) \lt (\dfrac{1}{2})^{n+1}$

@Noemi
Merci beaucoup

@RK
Et pour la dernière question j’ai utilisé le théorème des gendarmes pour dire que lim (1-Vn) = 0
Mais je ne sais pas comment dire qu’elle converge et comment déterminer sa limite

@RK

A partir de : $\leq 1−V_n \leq 0,5^n$ ;
$Vn−1≥−0,5nV_n-1 \geq -0,5^n$ d'ou
$Vn≥1−0,5nV_n\geq 1-0,5^n$
et si $n$ tend vers $+∞+\infty$ , $V_n$ tend vers 1.

@Noemi
Mercii
Donc je dit que Vn-1 >ou= _(1/2)^n <=> Vn>ou= 1-(1/2)^n
Or lim 1-(1/2)^n quand x tend vers + l’infini = 1
Donc lim Vn quand x tend vers + l’infini = 1
Donc (Vn) converge vers 1.
C’est ça ?

@RK

Il faut préciser que la suite est croissante et majorée.

@Noemi
Donc Vn-1 >ou= _(1/2)^n <=> Vn>ou= 1-(1/2)^n
Or lim 1-(1/2)^n quand x tend vers + l’infini = 1
Donc lim Vn quand x tend vers + l’infini = 1
(Vn) est croissante et majorée par 0.
Donc (Vn) converge vers 1.

@RK

La suite est majorée par 1.

@Noemi
Je comprend pas pourquoi elle est majorée par 1

@RK

Utilise la définition :
La suite $u_n)$ est majorée lorsqu’il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n$ , $un≤Mu_n \leq M$ . Le nombre $M$ est alors appelé un majorant de la suite $u_n)$ .

@Noemi
Oui mais ici c’est 0<ou= 1-Vn <ou= (1/2)^n

@RK
$vn>0v_n \gt 0$ , donc $0$ est un minorant.

@Noemi
Ahh j’ai compris Mercii beaucoupp