équation à coefficient complexe

bonsoir comment je peux résoudre cette équation dans C
$z2−2eiθz+(2isinθ)eiθ=0z^2-2e^{i\theta} z +(2isin \theta )e^{i\theta} =0$

Latex de l'équation rectifié par la modération.

@baraa-skhairi Bonsoir,

Remplace $eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$
L'équation devient :
$z2−2(cos(θ)+isin(θ))z+2isin(θ)(cos(θ)+isin(θ))=0z^2-2(cos(\theta)+isin(\theta))z+2isin(\theta)(cos(\theta)+isin(\theta))=0$
$[z−(cos(θ)+isin(θ)]2−(cos(θ)+isin(θ))2+2isin(θ)(cos(θ)+isin(θ))=0[z-(cos(\theta)+isin(\theta)]^2-(cos(\theta)+isin(\theta))^2+2isin(\theta)(cos(\theta)+isin(\theta))=0$
$[z−(cos(θ)+isin(θ)]2−cos2(θ)−2isin(θ)cos(θ)+sin2(θ))+2isin(θ)cos(θ)−2sin2(θ)=0[z-(cos(\theta)+isin(\theta)]^2-cos^2(\theta)-2isin(\theta)cos(\theta)+sin^2(\theta))+2isin(\theta)cos(\theta)-2sin^2(\theta)=0$
$[z−(cos(θ)+isin(θ)]2−1=0[z-(cos(\theta)+isin(\theta)]^2-1=0$

Autre méthode,
Utilise la relation : $sin(θ)=eiθ−e−iθ2isin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
$2isin(θ)=eiθ−e−iθ2isin(\theta)= e^{i\theta}-e^{-i\theta}$
tu obtiens :
$z2−2eiθz+e2iθ−1z^2-2e^{i\theta}z+e^{2i\theta}-1$
soit
$(z−eiθ)2−1(z-e^{i\theta})^2-1$

Je te laisse factoriser puis déterminer les deux solutions.

indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.

Bonjour,

Autre version possible en utilisant les formules de résolution , avec directement la forme exponentielle.

$2isinθ=eiθ−e−iθ2isin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}$

L'équation peut s'écrire:

$z2−2eiθz+(eiθ−e−iθ)eiθ=0z^2-2e^{i\theta}z+(e^{i\theta}-e^{-i\theta})e^{i\theta}=0$

c'est à dire :

$z2−2eiθz+2eiθ−1=0z^2-2e^{i\theta}z+2e^{i\theta}-1=0$

$Δ=(2eiθ)2−4(2eiθ−1)\Delta=(2e^{i\theta})^2-4(2e^{i\theta}-1)$

Après simplification : $Δ=4\Delta=4$

Avec les formules usuelles de résolution des équations du second degré, tu dois trouver, après calcul, deux solutions :

$z1=eiθ−1z_1=e^{i\theta-1}$ et $z2=eiθ+1z_2=e^{i\theta}+1$

Il y a le choix.

@Noemi ok merci beaucoup