Aide pour Limite d'une somme

Bonjour, un coup de main svp!
Il s'agit de calculer la limite à l'infini de $S_n$ définie par: $Sn=∑k=0nS_n=\sum_{k=0}^{n}$ $U_k$ où $U_0=-1$ , $U_1=1$ et $U_{n+1}$ $=12Un=\frac{1}{2}U_n$ pour $n≥1n\geq1$ .

@Wil-Fried , bonjour/bonsoir,

Si j'ai bien lu,

$S=−1+∑k=1nUk\displaystyle S=-1+\sum_{k=1}^{n}U_k$

$∑k=1nUk\displaystyle \sum_{k=1}^{n}U_k$ est la somme des n pemiers termes de la suite géométrique de premier terme $U_1=1$ et de raison $q=12q=\dfrac{1}{2}$

$∑k=1nUk=U1×1−qn1−q\displaystyle \sum_{k=1}^{n}U_k=U_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$

Tu termines et tu trouves la limite de S qui doit être, sauf erreur, -1+2=1

Reposte si besoin.

@mtschoon Je sais pourquoi mais je trouve -3 pourtant j'ai suivi la procédure

@Wil-Fried Bonjour,

Vérifie ton calcul, le premier terme vaut -1 et la somme des autres termes est forcément positive puisque le premier terme est positif ainsi que la raison.

@mtschoon $1−(12)n−12\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{\frac{-1}{2}}$

@Wil-Fried

Le dénominateur est égal à $1−12=...1-\dfrac{1}{2}=...$

@Noemi Qui fait -1/2

@Wil-Fried

Ah bon !
$1 - 0, 5 = . . . . .$

$1−12=22−12=....1-\dfrac{1}{2}= \dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=....$

@Noemi Le numérateur a pour limite 1

@Wil-Fried

Oui pour la limite et :
$112=2\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$

@Noemi pffff Franchement je vous prie de m'excuser pour ma distraction. Je ne sais où j'avais la tête!
Après rectification on trouve effectivement 1

@Wil-Fried

Pas de problème, l'essentiel c'est que tu aies compris ton erreur.

@Noemi Merci beaucoup, je trouve la réponse.

@Wil-Fried

Parfait

@Wil-Fried , effectivement, tu as été un peu distrait.

$lim⁡n→+∞(12)n=0\displaystyle \lim _{n\to +\infty} (\dfrac{1}{2})^n=0$

$lim⁡n→+∞S=−1+11−12=−1+112=−1+2=1\displaystyle \lim _{n\to +\infty} S=-1+\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=-1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1+2=1$

Bon travail.

@mtschoon Merci beaucoup