Dérivabilité et étude de fonction

Salut à vous !
S’il vous plaît j’ai un blocage avec cette question :
Soit f la fonction définie sur $R$ par : $f (x) = \sqrt ∣ x (x - 2) ∣ - x$
1/Justifie que f admet en 0 et en 2 des demi-tangentes dirigées toutes vers le haut.
2/Justifie que la droite d’equation $y = - 1$ est asymptote à la courbe de f en $+ \infty$ .

Je vous remercie d’avance pour votre aide

@Jbuilder Bonjour,

Calcule le nombre dérivée à gauche et à droite de 0 et 2.

Bonsoir;

@Noemi a dit dans Dérivabilité et étude de fonction :

@Jbuilder Bonjour,

Calcule le nombre dérivée à gauche et à droite de 0 et 2.

@Jbuilder, en fait, il n'y a pas de "nombre dérivé à gauche et à droite ni en 0 ni en 2, car si tu fais les calculs, tu dois trouver $+∞+\infty$ et $−∞-\infty$
Donc, fonction non dérivable ni en 0 ni en 2 , ni à droite, ni à gauche, mais deux "demi tangentes "verticales" (parallèles à l'axe des ordonnées )

Je te mets des pistes de calcul pour l'étude à droite en 2

$f (2) = - 2$

Pour $x>2x\gt 2$ , $\gt 0$ donc $∣ x (x - 2) ∣ = x (x - 2)$

$f(x)=x(x−2)−xf(x)=\sqrt{x(x-2)}-x$

Tu calcules :

$lim⁡x→2,x>2f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→2,x>2x(x−2)−x+2x−2\displaystyle \lim_{x\to 2, x\gt 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}= \lim_{x\to 2, x\gt 2}\dfrac{\sqrt{x(x-2)}-x+2}{x-2}$

$lim⁡x→2,x>2f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→2,x>2x(x−2)x−2−1\displaystyle \lim_{x\to 2, x\gt 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}= \lim_{x\to 2, x\gt 2}\dfrac{\sqrt{x(x-2)}}{x-2}-1$

$lim⁡x→2,x>2f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→2,x>2xx−2−1=+∞\displaystyle \lim_{x\to 2, x\gt 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}= \lim_{x\to 2, x\gt 2}\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}-1=+\infty$

Même principe pour l'étude à gauche en 2 , mais cette fois, en prenant $0≤x<20\le x\lt 2$ , il faut prendre
$f(x)=x(2−x)−xf(x)=\sqrt{x(2-x)}-x$

Tu trouveras $lim⁡x→2,x<2f(x)−f(2)x−2=−∞\displaystyle \lim_{x\to 2, x\lt 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=-\infty$

Le principe en 0 est le même.

Bons calculs.

Illustration graphique.
Courbe en rouge.
Demi-tangentes "verticales" en bleu.

@Jbuilder , lorsque tu auras bien étudié ta première question , tu pourras passer à la seconde.

Pour faire la justification demandée, il suffira que tu prouver que :
$lim⁡x→+∞f(x)−(−1)=0\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-(-1)=0$

Vu que dans ce cax, $\gt 0$ , il suffira de prouver que :
$lim⁡x→+∞x(x−2)−(−1)=0\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x(x-2)}-(-1)=0$

Bons calculs.

Reposte si besoin.

@mtschoon
Merci infiniment à vous j’ai bien compris la démarche

De rien @Jbuilder , c'est parfait si tu as compris.

J'espère que tu es arrivé à lever l'indétermination pour trouver la limite de la question 2 (sinon, demande).