DM limites de fonctions cas = 1

[suhn1]

Bonjour, je bloque sur un dm sur les limites (à partir de la question 2)
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (e^x)-[(x^2)/2]

1. Déterminer la dérivée f' de f sur R. (j'ai réussi, je trouve (e^x)-x)
2. En utilisant l'inégalité pour tout x appartenant à R, e^x ≥ x+1 (démontréee en classe), dresser le tableau de variation de f sur R. (Je bloque à partir de cette question)
3. En déduire que, pour tout x >0, (e^x)/x > x/2.
4. En déduire alors que la limite de (e^x)/x quand x tend vers +infini= + infini

Merci d'avance pour votre aide, je me sens un peu beaucoup perdu

[mtschoon]

@suhn1 , bonjour,

$f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$

Quelques pistes,

1. Oui pour la dérivée.

2. Tu sais que pour tout x appartenant à R, $e^x\ge x+1$
   Comme $x+1>x$ , tu déduis : $e^x\ge x+1>x$

Donc : $e^x>x$ , donc : $e^x-x>0$ donc $f^{\prime }(x)>0$ donc f strictement croissante sur $R$

3)$f(0)=1$
Vu que f est strictement croissante, pour $x>0$, $f(x)>f(0)$, donc $f(x)>1$ donc à forciori $f(x)>0$

Tu peux donc écrire, pour $x>0$ , $e^x-\frac{x^2}{2}>0$

Tu transposes $\frac{x^2}{2}$ dans le membre de droite :
$e^x>\frac{x^2}{2}$

En divisant chaque membre par $x$ strictement positif, tu obtiendras l'inégalité cherchée.

La question 4) en est la conséquence immédiate.

[suhn1]

Merci beaucoup pour ton message, tu m'as débloqué

[mtschoon]

De rien @suhn1 .

J'espère que tu es bien arrivé à tirer la conclusion de la question 4).