DM limites de fonctions cas = 1


  • suhn1

    Bonjour, je bloque sur un dm sur les limites (à partir de la question 2)
    On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (e^x)-[(x^2)/2]

    1. Déterminer la dérivée f' de f sur R. (j'ai réussi, je trouve (e^x)-x)
    2. En utilisant l'inégalité pour tout x appartenant à R, e^x ≥ x+1 (démontréee en classe), dresser le tableau de variation de f sur R. (Je bloque à partir de cette question)
    3. En déduire que, pour tout x >0, (e^x)/x > x/2.
    4. En déduire alors que la limite de (e^x)/x quand x tend vers +infini= + infini

    Merci d'avance pour votre aide, je me sens un peu beaucoup perdu


  • mtschoon

    @suhn1 , bonjour,

    f(x)=ex−x22f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}f(x)=ex2x2

    Quelques pistes,

    1. Oui pour la dérivée.

    2. Tu sais que pour tout x appartenant à R, ex≥x+1e^x \ge x+1exx+1
      Comme x+1>xx+1\gt xx+1>x , tu déduis : ex≥x+1>xe^x \ge x+1 \gt xexx+1>x

    Donc : ex>xe^x \gt xex>x , donc : ex−x>0e^x -x\gt 0exx>0 donc f′(x)>0f'(x)\gt 0f(x)>0 donc f strictement croissante sur RRR

    3)f(0)=1f(0)=1f(0)=1
    Vu que f est strictement croissante, pour x>0x\gt 0x>0, f(x)>f(0)f(x) \gt f(0)f(x)>f(0), donc f(x)>1f(x)\gt1f(x)>1 donc à forciori f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0

    Tu peux donc écrire, pour x>0x\gt 0x>0 , ex−x22>0e^x-\dfrac{x^2}{2}\gt 0ex2x2>0

    Tu transposes x22\dfrac{x^2}{2}2x2 dans le membre de droite :
    ex>x22e^x\gt \dfrac{x^2}{2}ex>2x2

    En divisant chaque membre par xxx strictement positif, tu obtiendras l'inégalité cherchée.

    La question 4) en est la conséquence immédiate.


  • suhn1

    Merci beaucoup pour ton message, tu m'as débloqué


  • mtschoon

    De rien @suhn1 .

    J'espère que tu es bien arrivé à tirer la conclusion de la question 4).