Inéquation difficile à résoudre
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MM.amine dernière édition par
Bonjour à tous
J'ai une inégalité qui me perturbe depuis bien longtemps si vous pouvez m'aider ça sera génial
c'est:
**soient X et Y deux nombres réels positifs **
Montrer que:
X²+Y²+1 ≥ X√(Y²+1) + Y√(X²+1)
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@M-amine Bonjour,
Développe :
(x−y2+1)2+(y−x2+1)2≥0(x-\sqrt{y^2+1})^2+(y-\sqrt{x^2+1})^2 \geq0(x−y2+1)2+(y−x2+1)2≥0
soit
x2−2xy2+1+y2+1+y2−2xx2+1+x2+1≥0x^2-2x\sqrt{y^2+1}+y^2+1+y^2-2x\sqrt{x^2+1}+x^2+1 \geq0x2−2xy2+1+y2+1+y2−2xx2+1+x2+1≥0
2x2+2y2+2≥2xy2+1+2yx2+12x^2+2y^2+2 \geq2x\sqrt{y^2+1}+2y\sqrt{x^2+1}2x2+2y2+2≥2xy2+1+2yx2+1Je te laisse conclure.