Etude de fonction racine cubique

Bonjour,
Etudier les variations de f sur Df
$f(x)=x4−x3f(x)=x\sqrt[3]{4-x}$

Calcule la dérivée de la fonction.

@Noemi
je pense qu'il doit s"appuyer sur la derrivéé d'un produit de deux fonctions sauf erreur
$(f g)^{'} = f^{'} g + g^{'} f$

Bonsoir,

@Mohssine a dit dans Etude de fonction racine cubique :
tions >

Etudier les variations de f sur Df
$f(x)=x4−x3f(x)=x\sqrt[3]{4-x}$

@Mohssine , la première chose à faire c'est de donner Df ou de l'indiquer si l'énoncé te le donne pas.
Merci de préciser cela.

Il faut savoir sur quel ensemble tu travailles, pour calculer dérivée, et étudier les variations.

@mtschoon

effectivement etant donne que x peut etre dans R et la racine a sa restiction !

@Mohssine

En prenant comme domaine de définition : $D_f= \R$ .
La dérivée :
$(4-x)^{\frac{1}{3}}-x\times \dfrac{1}{3}(4-x)^{-\frac{2}{3}}$

A réduire au même dénominateur et à simplifier.
Un point particulier à étudier $A (4; 0)$

Bonjour,

Je me permets une nuance et c'est pourquoi que je demandais à @Mohssine d'indiquer son domaine de définition et j'aurais voulu qu'il le donne.

Pour la "fonction racine cubique", comme indiqué, le domaine est $R$ , car $x3\sqrt[3]x$ est le réel dont la puissance 3 vaut x.
exemples : $83=2\sqrt[3]8=2$ car $2^3=8$ et $−83=−2\sqrt[3]{-8}=-2$ car $2)^3=-8$

$x$ et $x3\sqrt[3]x$ sont de même signe.

La dérivée de $x3\sqrt[3]x$ sur $R^*$ vaut $13(x3))2\dfrac{1}{3(\sqrt[3] x))^2}$

La "fonction puissance" $x13x^\frac{1}{3}$ vaut "racine cubique de x" seulement pour $x>0\boxed{x\gt 0}$ vu que $x13=e13ln(x)x^{\dfrac{1}{3}}=e^{\dfrac{1}{3}ln(x)}$

Donc, vu l'énoncé, on doit travailler sur $R$ , donc on doit utiliser la fonction "racine cubique" (et pas la fonction puissance qui change le domaine de définition)

Pour $x≠4x\ne 4$ , la dérivée s'écrit donc (dérivée d'un produit , comme l'indique @loicstephan )
$f′(x)=4−x3−x3(4−x3)2f'(x)=\sqrt[3] {4-x}-\dfrac{x}{3(\sqrt[3] {4-x})^2}$

$f′(x)=3(4−x3)3−x3(4−x3)2f'(x)=\dfrac{3(\sqrt[3]{4-x})^3-x}{3(\sqrt[3]{4-x})^2}$

$f′(x)=3(4−x)−x3(4−x3)2f'(x)=\dfrac{3(4-x)-x}{3(\sqrt[3]{4-x})^2}$

(numérateur à simplifier)

@Mohssine , consulte ton cours, regarde tout ça de près, et poursuit l'étude.

Reposte si besoin, bien sûr.

@mtschoon Bonjour, on considère que la fonction racine est définit sur R plus, alors l'étude de la fonction est sur 4 plus l'infini.

Merci pour ta réponse @Mohssine .

C'était cela que je voulais savoir depuis le début !

Si , dans ton cours, la fonction racine cubique est définie dans $R +$ , c'est beaucoup plus simple !

Dans ce cas, la fonction racine cubique prend la valeur $0$ pour $x = 0$ et tu peux utiliser la forme puissance $13\dfrac{1}{3}$ si tu préfères pour $x>0x\gt 0$

Par contre , dans ton exercice, Df n'est pas ce que tu indiques.

$4−x≥04-x\ge 0$ <=> $4≥x4\ge x$ <=> $x≤4\boxed{x\le 4}$

Tu travailles donc , dans ton exercice, sur $Df=]−∞,4]Df=]-\infty, 4]$

Remarque : d'après ce que tu indiques de ton cours, cette fonction f est est définie sur $]−∞,4]]-\infty, 4]$ ; elle prend la valeur $0$ pour $x = 4$ ; elle est dérivable sur $]−∞,4[]-\infty, 4[$

@mtschoon Pardon, j'étais dans l'exercice que je viens de poster là je vais ouvrir celuilà et écrire les résultas que j'ai obtenus

@Mohssine, OK

Pour que tu puisses vérifier tes calculs, je t'indique ce que tu dois trouver pour les variations de f :

f strictement croissante sur $]−∞,3]]-\infty, 3]$
$f (3) = 3$
f strictement décroissante sur $[3, 4]$
$f (4) = 0$

Si des compléments sont exigés (?) :

f non dérivable, à gauche, pour $x = 4$ (le taux permet d'obtenir - $∞\infty$ , donc demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées).

Lorsque $x$ tend vers $−∞-\infty$ , la fonction tend vers $−∞-\infty$

Tout ceci est à prouver.

@Mohssine un excercice sur la concavité

@mtschoon est ce que vous avez vu l'autre exo; on demande aussi la graphe de la fonction

@Mohssine , si tu parles de la fonction de cette discussion ( je n'ai pas regardé ton topic sur la concavité car j'ai vu que deux intervenants s'en occupaient), je te joins un graphique, mais ce n'est qu'une illustration (graphique).
On le fait lorsque tout a été démontré.

La courbe est en bleu.
La demi-tangente "verticale" au point A(4,0) est en rouge.

@mtschoon on est encore sur le meme probleme ce n'est pas encore résolu; je parle du probleme de concavité