pourquoi z est un reel si -iz appartient a iIR

[sali sghaier]

pourquoi quand on multiplie un nombre Z complexe par i et que le résultat est un imaginaire pur on en déduit que z est un reel ? exemple : determiner z tel que -iz appartient a iIR et (z-2)/(i-2) appartient a R

[Black-Jack]

Bonjour,

z = x + iy

iz = -y + i.x
si iz est imaginaire c'est que sa partie réelle est nulle --> y = 0

Et donc z = x --> réel

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determiner z tel que -iz appartient a iIR et (z-2)/(i-2) appartient a R

z = x + iy
-iz = -i(x + iy)
-i*z = y - i.x

-iz est réel et donc --> x = 0
z = i*y

(z-2)/(i-2) = (i.y-2)/(i-2)
(z-2)/(i-2) = (i.y-2)(i+2)/((i-2)(i+2))
(z-2)/(i-2) = (-y + 2iy - 2i - 4)/5
(z-2)/(i-2) = (-y -4)/5 + i(2y-2)/5

(z-2)/(i-2) est réel et donc sa partie imaginaire est nulle --> y = 1

et donc finalement : z = i

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Recopier sans comprendre est inutile.

[sali sghaier]

@Black-Jack merci pour la réponse cependant -iz est un imaginaire pur et suivant cette methode j ai trouvé que z=2

[Noemi]

@sali-sghaier Bonjour

Avec $z=x+iy$
$\frac{z-2}{i-2}=\frac{1}{5}[(-x+y+4)+i(-x-2y+2)]$

Si $iz$ est un imaginaire pur alors $y=0$
Si : $\frac{z-2}{i-2}=\frac{1}{5}[(-x+y+4)+i(-x-2y+2)]$ appartient à $\mathbb{R}$
$-x-2y+2=0$
la résolution du système
$\{\begin{array}{l}y=0\\ -x+2y+2=0\end{array}$
donne : $x=2$ et $y=0$, donc $z=2$.

[mtschoon]

Bonjour,

Bien bizarres les notations dans ce topic.

@sali-sghaier parle parfois de $iz$ parfois de $-iz$
@Black-Jack a dû lire $R$ au lieu de $iR$ (ensemble des imaginaires purs)

Le calcul de @Noemi , en prenant $iz\in iR$ , semble plus cohérent.

Les intervenants le diront.