Famille de Cercles

[Bbygirl]

Bonjour, j'ai un devoir à la maison à rendre pour la rentrée et je coince au milieu d'un exercice. Je vais vous marquer l'énoncé et ce que j'ai trouvé jusque là en espérant que vous pourrez m'aider.

f est la fonction définie sur R* par f(x) = 1-x+1 div/ x
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i,j).

1. a) Prouvez que C admet une asymptote (delta) d'équation y= 1-x.

b) précisez la position de C par rapport à (delta).

2. a) Etudiez les variations de f et tracez C et (delta).

b) Discutez suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.

3. Lorsque la droite d'équation y=m coupe C en deux point distincts $M_1$ et $M_2$ d'abscisses $x_1$ et $x_2$ , on note $H_1$ et $H_2$ les points de l'axe des abscisses ayant respectivement la même abscisse $x_1$ et $x_2$ que $M_1$ et $M_2$ .

a) Prouvez que $x_1$ et $x_2$ sont solutions de l'équation :
x^2 -(1-m)x-1=0

b) Vérifiez que :
$H_1$ $H$_2^2 = $(x_2$ $-x_1$ ${)}^2$ = $(x_2$ $+x_1$ ${)}^2$ - $4x_1$ $x_2$
Et déduisez-en $H_1$ $H$_2^2 en fonction de m.

4. On note $(eta{)}_m$ le cercle de centre de diamètre $[H_1$ $H_2$].

a) Vérifiez que son centre a pour abscisse (1-m) div/ 2 et que son rayon r est tel qur r^2 = 1+ (1-m)^2 div/ 4.

b) Déduisez-en que x^2+y^2-(1-m)x-1=0 est l'équation de $(eta{)}_m$ .

5. Construisez le cercle $(eta{)}_m$ pour m=1, m=2 et m=3. Que remarquez-vous? prouvez-le.

Voici ce que j'ai trouvé :
J'ai su répondre aux questions 1 a) et b) et 2a).

2. b) f(x) = m
   equiv/ 1-x+1 div/ x = m
   equiv/ (x-x^2+1-mx) div/ x = 0
   equiv/ -x^2+(1-m)x+1=0
   (delta)' = b^2 - 4ac
   = (1-m)^2+4
   (delta)' = -m^2-2m+5
   (delta)' = 0 equiv/ -m^2-2m+5 = 0
   (delta)'' = b^2 - 4ac
   (delta)'' = 24 et $sqrt$24) = 2 $sqrt$6
   (delta)' = 0 equiv/ $m_1$ = -1+ $sqrt$6
   ou $m_2$ = -1- $sqrt$6.

f(x) = m n'a pas de solution qqsoit/ m app/ ]-inf/ ;-1- $sqrt$6[ union/ ]-1+ $sqrt$6;+inf/ [
f(x) = m a une solution lorsque m = -1+ $sqrt$6 ou m = -1- $sqrt$6
f(x) = m a 2 solutions lorque m app/ ]-1- $sqrt$6; -1+ $sqrt$6[

Je suis désolée si mon raisonnement n'est pas clair mais je ne sais pas trop comment l'organiser. tous les conseils sont les bienvenus ...

3. a) C'est ici que je commence à peiner mais voilà ce que je trouve :
   -x^2+(1-m)x+1 = -(x^2-(1-m)x-1) d'où -x^2+(1-m)x+1 = 0 equiv/ -(x^2-(1-m)x-1) = 0
   D'après la question 2.b), l'équation -x^2+(1-m)x+1 = 0 a 2 solutions, $x_1$ et $x_2$ , telles que :
   $x_1$ = (1-m+ $sqrt$(-m^2-2m+5)) div/ 2
   $x_2$ = (1-m- $sqrt$(-m^2-2m+5)) div/ 2

b) $H_1$ $H$_2^2 = $(x_2$ $-x_1$ )^2 - $(y_2$ $-y_1$)^2 Or $y_2$ = $y_1$ = 0
d'où $H_1$ $H$_2^2 = $(x_2$ $-x_1$ )^2 = $(x_2$ $+x_1$ )^2 - $4x$_1$x_2$

En remplaçant par les valeurs respectives de $x_1$ et $x_2$, on trouve :
$H_1$ $H$_2^2 = -m+5

C'est pour les questions 4 et 5 que je ne sais pas du tout comment m'y prendre.
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

[kanial]

Salut,
Je pense que pour le 2b) ce qu'on te demande est une discussion graphique, du reste dans ce que tu as fait, qui est assez compliqué, tu as fait pas mal d'erreurs. Pour le 3a) tu sais que x1 et x2 sont deux solutions de l'équation f(x)=m, il te suffit de montrer que cette équation est la même que celle que l'on te donne. La 3b) me semble bonne à part la valeur de H1H2² que tu trouves ( je te conseille d'utiliser la forme (x1-x2)² qui est plus simple pour ce calcul). Pour la 4), le centre du cercle est le milieu de [H1H2], donc son abscisse est : (x1+x2)/2, son rayon est la distance entre ce centre et H1 par exemple, à toi de la calculer, tu dois avoir des formules. Pour le 4b) il faut que tu partes du fait que l'équation d'un cercle de centre C(X,Y) et de rayon r s'écrit :
(y-Y)²+(x-X)²=r², à partir de cette formule il faut que tu retrouves ce que l'on te donne.
Pour le 5) tu vas avoir des équations de cercle il faut que tu te ramènes à une équation de ce type (y-Y)²+(x-X)²=r², comme ça tu auras le centre et le rayon tu pourras construire le cercle. Tu verras alors ce qu'il faut remarquer.

[Bbygirl]

Merci beaucoup de cette aide. je vais reprendre l'exercice avec ces conseils et voir si je m'en sors.
Merci encore

[Bbygirl]

En fait pour la question 2.b) je sais pas comment l'expliquer graphiquement. J'ai tracé ma fonction sur ma calculatrice mais ya pas moyen de m'en sortir.
Encore un peu d'aide serait la bienvenue merci d'avance

[kanial]

Graphiquement, tu dois voir combien une droite d'équation y=m a de point(s) d'intersection avec la courbe, et ce en fonction de la valeur de m, tu peux justifier ça grâce à la croissance de ta courbe, si sur un intervalle I, ta fonction est continue et strictement croissante et que m appartient à l'intervalle image f(I) alors tu n'auras qu'une solution sur I à l'équation f(x)=m.