Equation diophantienne

[Marvin]

Bonjour à tous j'envoi ce message car je dois résoudre l'équation diophantienne suivante:
728x+187y = 5.
Je dois bien entendu chercher les solutions entières.
J'ai donc cherche le PGCD grâce à l'algorithme d'Euclide, ce qui donna :
728 = 3187+167
167=208+7
20=27+6
7=61+1
6=6*1+0 donc le PGCD vaut 1.
Or d'après le théorème de Bézout 728u+187v= 1 admet au moins une solution.
Problème j'ai du mal à remonter l'algorithme d'Euclide pour trouver la valeur de u et de v.
Quelqu'un connait il la méthode pour remonter l'algorithme?

[Noemi]

@Marvin Bonjour,

De $7=6\times 1+1$, tu déduis $1=7-6\times 1$ (1)
De $20=7\times 2+6$ tu déduis $6=20-7\times 2$ que tu remplaces dans (1)
cela donne $1=7-(20-7\times 2)\times 1=7\times 3-20$ (2)
tu poursuis avec
$167=20\times 8+7$ qui donne : $7=167-20\times 8$ que tu remplaces dans (2).

Je te laisse poursuivre.

Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.

[Marvin]

Bonjour, je viens de voir le message, merci pour votre réponse.
En poursuivant ce que vous avez écrit j'obtiendrai :
1=(167-20 x 3-20
1=167-209 (3)
De 728 = 3187+167 je déduis 167=728-3187 que je remplace dans (3)
ce qui donne 1 = (728-3187)-209 .
Je poursuivrai un peu plus tard vu que j'ai un imprévu

[Noemi]

@Marvin

Vérifie tes calculs.
$1=7\times 3-20$ et
$7=167-20\times 8$
$1=(167-20\times 8)\times 3-20$
$1=167\times 3-20\times 25$
Puis
$20=187-167\times 1$
donne $1=167\times 3-(187-167\times 1)\times 25$
$1=167\times 28-187\times 25$
puis
$167=728-187\times 3$
Donne $1=(728-187\times 3)\times 28-187\times 25$
$1=728\times 28-187\times 109$