SVP j ai besoin d aide pour une question de résolution d une équation

Bonjour
j ai des difficulté a montrer que
sin(pi/18) est l unique solution dans [0,1/3] de l equation :
x=(4/3)x^3+(1/6)

@Mariem-jabloun a dit dans SVP j ai besoin d aide pour une question de résolution d une équation :

Bonjour
j ai des difficulté a montrer que
sin(pi/18) est l unique solution dans [0,1/3] de l equation :
x=(4/3)x^3+(1/6)

Bonjour,

Une méthode parmi d'autres (j'indique le chemin ... il te restera à compléter ... et surtout à comprendre) :

x=(4/3)x^3+(1/6)
6x = 8x³ + 1
8x³ - 6x + 1 = 0

f(x) = 8x³ - 6x + 1
On étudie les variations de f sur [0 ; 1/3]
On calcule f'(x) = ...
qu'on peut mettre sous la forme f'(x) = 6(2x-1)(2x+1) aisée pour l'étude de son signe.

Et tu dois pouvoir conclure que f'(x) < 0 sur [0 ; 1/3] --> f est strictement décroissante sur cet intervalle
On calcule ensuite que f(0)> 0 et que f(1/3) < 0

Ce qui permet de conclure qu'il y a une seule valeur alpha de x sur [0 ; 1/3] tel que f(x) = 0
et que donc sur [0 ; 1/3] il y a une seule solution à l'équation x=(4/3)x^3+(1/6)

Il reste à vérifier que cette solution est bien sin(Pi/18)

sin(Pi/6) = 1/2
sin(3a) = 3.sin(a) - 4sin³(a)
sin(Pi/6) = 3.sin(Pi/18) - 4sin³(Pi/18)
3.sin(Pi/18) - 4sin³(Pi/18) = 1/2
3.sin(Pi/18) = 4sin³(Pi/18) + 1/2
sin(Pi/18) = (4/3)*sin³(Pi/18) + (1/6)

Et donc sin(Pi/18) est bien solution de x=(4/3)x^3+(1/6) et comme 0 <= Pi/18 <= 1/3 ...

--> sin(Pi/18) est l'unique solution sur [0 ; 1/3] de l'équation x=(4/3)x^3+(1/6)

Remarque :
Si on ne connait pas la relation sin(3a) = 3.sin(a) - 4*sin³(a) ... on peut facilement la redémontrer (par exemple ainsi ... ou autrement)

sin(2a) = 2sin(a).cos(a)
cos(2a) = 2cos²(a) - 1

sin(3a) = sin(2a+a) = sin(2a).cos(a) + cos(2a).sin(a)
sin(3a) = 2sin(a).cos(a).cos(a) + (2cos²(a) - 1).sin(a)
sin(3a) = 2sin(a).cos²(a) + 2cos²(a).sin(a) - sin(a)
sin(3a) = 4sin(a).cos²(a) - sin(a)
sin(3a) = 4sin(a).(1-sin²(a)) - sin(a)
sin(3a) = -4sin³(a) + 3sin(a)

@Black-Jack
merci beaucoup j ai bien compris