SVP j ai besoin d aide dans un exercie de suite

Bonjour
j ai des difficultes a repondre a la question suivante
U0=1
Un+1=Un/√(1+2Un)
montrer que Un<=1/√n

Un démarche possible, par récurrence,

Je t'indique cette démarche mais tous les calculs sont à faire.

a) travail préliminaire : étude des variations de la fonction f définie par
$f(x)=x1+2xf(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+2x}}$
f est définie , dérivable et ** croissante** sur $]−12,+∞[]-\dfrac{1}{2},+\infty[$

b) Récurrence
La propriété $Un≤1nU_n\le \dfrac{1}{\sqrt n}$ ne peut s'appliquer que pour $n≥1n\ge 1$

Initialisation pour $n = 1$ facile.

Hérédité.
On suppose qu'à un ordre $n$ de $N^*$ , $Un≤1nU_n\le \dfrac{1}{\sqrt n}$
On va démontrer que la propriété est vraie à l'ordre $(n + 1)$ , c'est à dire $Un+1≤1n+1U_{n+1}\le \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

Piste de la démonstration :
$Un≤1nU_n\le \dfrac{1}{\sqrt n}$
Vu que f est croissante, l'ordre est conservé :
$f(Un)≤f(1n)f(U_n)\le f(\dfrac{1}{\sqrt n})$
c'est à dire
$Un+1≤f(1n)U_{n+1}\le f(\dfrac{1}{\sqrt n})$

Après calculs et transformations, sauf erreur, tu trouves
$f(1n)=1n+2nf(\dfrac{1}{\sqrt n})=\dfrac{1}{\sqrt{n+2\sqrt n}}$

Tu justifies que $1n+2n≤1n+1\dfrac{1}{\sqrt{n+2\sqrt n}}\le \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

d'où : $Un+1≤1n+1U_{n+1}\le \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

CQFD.

Bons calculs.

@mtschoon
merci beaucoup pour votre aide

De rie @Mariem-jabloun .
C'est parfait si tu as tout calculé sans problème.