continuité et dérivabilité d'une fonction trigonométrique

comment je peux répondre à cette question
f(x)= $cos(x/2)\sqrt{cos(x/2)}$ I=[0,\Pi]
prouvez que f est continue sur I , dérivable sur [0, \Pi [

@baraa-skhairi Bonsoir (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Si $x$ appartient à $[0,π][0,\pi]$ ,
a quel ensemble appartient :
$x2\dfrac{x}{2}$ ?
puis $cos(x2)cos(\dfrac{x}{2})$ ?
puis $f (x)$ ?

@Noemi Bonjour
Désolé , j'ai pas compris

@baraa-skhairi

Si $x$ appartient à $[0,π][0,\pi]$ ,

$x2\dfrac{x}{2}$ apparient à l'intervalle $[0;π2][0;\dfrac{\pi}{2}]$
puis $cos(x2)cos(\dfrac{x}{2})$ ?
puis $f (x)$ ?

@Noemi
oui oui j'ai compris celà mais j'ai pas compris le faite de changer les intervalles
peut on dire [0, \pi/2] inclue dans [0,\pi]

@baraa-skhairi

Comment démontrer qu'une fonction est continue ?

@Noemi
une fonction est continue sur son domaine de définition

@baraa-skhairi

Quel est le domaine de définition de la fonction $f$ ?

@Noemi
c'est un donnée
[0, \pi]

@baraa-skhairi

I est le domaine d'étude de la fonction pas forcément sont domaine de définition. Tu dois vérifier que quel que soit $x$ appartenant à I, $f (x)$ existe. Si $f$ est continue sur I, c'est que tous $x$ de I, a une image par $f$ .

oui je sais mais ma problème c'est comment je peux prouvez que la fonction est continue sur [0, pi ] correctement , car j'ai un problème de rédaction pour répondre à ce genre des questions

@baraa-skhairi

je t'ai indiqué une piste, déterminer le domaine image de la fonction.

@Noemi
d'accord merci beaucoup

@baraa-skhairi

Si $x$ appartient à $[0,π][0,\pi]$ ,

$x2\dfrac{x}{2}$ apparient à l'intervalle $[0;π2][0;\dfrac{\pi}{2}]$
puis $cos(x2)cos(\dfrac{x}{2})$ appartient à l'intervalle $[0; 1]$ , soit $cos(x2)≥0cos(\dfrac{x}{2})\ge0$ .
puis $f (x)$ appartient à l'intervalle $[0; 1]$

@Noemi
vous avez la traité comme étant une fonction composé n'est ce pas
U°V(x) = f(x)
avec u(x)= $x\sqrt{x}$
v(x) = cos(x/2)

Bonjour,

@baraa-skhairi , un complément si besoin.
C'est vrai que ce n'est vraiment pas commode pour bien détailler...

Ici, f est la composée de 3 fonctions

$f = W o V o U$ avec $U(x)=x2,V(x)=cosx,W(x)=xU(x)=\dfrac{x}{2}, V(x)=cosx, W(x)=\sqrt x$

$f(x)=W[V(U(x))]f(x)=W\biggr[V\biggr(U(x)\biggr)\biggr]$

En utilisant ton cours, tu peux dire que :
$U$ et $V$ sont des fonctions définies, continues, dérivables sur $R$ .
$W$ est définie, continue sur $[0,+∞[[0,+\infty[$ , dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

Tu appliques cela pour $x∈[0,π]x\in[0,\pi]$
$U$ est une fonction linéaire continue, dérivable sur $[0,π][0,\pi]$ et l’image est $[0,π2][0,\dfrac{\pi}{2}]$
$V$ est la fonction cosinus continue , dérivable sur $[0,π2][0,\dfrac{\pi}{2}]$ et l’image est $[0, 1]$
$W$ est la fonction racine carrée continue sur $[0, 1$ ] (et l’image est $[0, 1]$ )
Par contre $W$ est dérivable sur $] 0, 1]$

Donc f est continue sur $[0,π][0,\pi]$ comme composée de fonctions continues.

Il faut voir l’exception pour la dérivabilité de $W$
Le « radicande » (quantité dont on prend la racine carrée) doit être strictement positif
D’où :
$cos(x2)>0cos(\dfrac{x}{2})\gt 0$ , c’est à dire $x2∈[0,π2[\dfrac{x}{2} \in [0,\dfrac{\pi}{2}[$ , cest à dire $x∈[0,π[x\in[0,\pi[$

Donc f est dérivable sur $]0,π]]0,\pi]$ comme composée de fonctions dérivables.

Bon travail.