centre de symetrie et fonction sans valeurs
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Lloicstephan dernière édition par
bonsoir a tous je bloque sur cet exercice
Soit f une fonction homographique, définie sur R privé de (−d/c)(−d/c )(−d/c) par f(x) = ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}cx+dax+b avec
ad−bcad − bcad−bc different de 000 (ce qui exclut les cas où f est constante).- Montrer que Cf possède une asymptote horizontale et une autre verticale.
- Montrer que leur point d’intersection est centre de symétrie de la courbe de f.
pour la question 1 pas de proble on montre facilement que lla droite d'equation x=−dcx=\frac{-d}{c}x=c−d est AV(asymptote verticale) et que la droite d'equation y=acy=\frac{a}{c}y=ca est AH(asymptote horizontale )
pour la question 2 je dois montrer en supposant le point I(e;g)I(e;g)I(e;g) centre de symetrie que
f(2e−x)+f(x)=2gf(2e-x)+f(x)=2gf(2e−x)+f(x)=2g avec les cordonnees respectives de I(−dc;ac)I(\frac{-d}{c};\frac{a}{c})I(c−d;ca)les developpements sont tres longs que je m"embrouille dans mes calculs merci
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@loicstephan , bonjour,
Pas passionnant le calcul...
Je te conseille de transformer f(x) utilement, vu le but recherché.
f(x)=a(x+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}f(x)=c(x+cd)a(x+ab)
Ensuite, petite astuce :
f(x)=a(x+dc−dc+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{d}{c}-\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}f(x)=c(x+cd)a(x+cd−cd+ab)
f(x)=a(x+dc)+a(−dc+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{d}{c})+a(-\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}f(x)=c(x+cd)a(x+cd)+a(−cd+ab)
En décomposant :
f(x)=ac+ac(ba−dc)x+dcf(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{c}\dfrac{(\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c})}{x+\dfrac{d}{c}}f(x)=ca+cax+cd(ab−cd)
f(x)=ac+b−adcc(x+dc)f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b-\dfrac{ad}{c}}{c(x+\dfrac{d}{c})}f(x)=ca+c(x+cd)b−cad
En multipliant le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par ccc :
f(x)=ac+bc−adc2(x+dc)\boxed{f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c^2(x+\dfrac{d}{c})}}f(x)=ca+c2(x+cd)bc−ad
Tu appliques cette expression encadrée (sans refaire les calculs) en remplaçant xxx par (−2dc−x)(\dfrac{-2d}{c}-x)(c−2d−x) pour obtenir f(−2dc−x)\boxed{f( \dfrac{-2d}{c}-x)}f(c−2d−x)
En ajoutant les deux expressions f(x)f(x)f(x) et f(−2dc−x)f( \dfrac{-2d}{c}-x)f(c−2d−x) tu obtiendras 2ac\dfrac{2a}{c}c2a
Bons calculs ! ! !
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Lloicstephan dernière édition par
@mtschoon
merci bien pour l'astuce je me demande aussi si en passant normalement on aboutirait pas a la solution! parce que la trouver cette transformation astucieuse demande bcp d'experience !
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@loicstephan , bonjour,
C'est très bien si tu as terminé sans problème.
Je pense que si, en faisant "normalement" , le calcul avait été simple, tu aurais abouti tout-même à la solution...
J'a commencé "normalement" au brouillon mais quand j'ai vu l'état, j'ai réfléchi pour ne pas faire des calculs "bourrins"...
Pour obtenir 2ac\dfrac{2a}{c}c2a le mieux était de transformer f(x)f(x)f(x) et f(−2dc−x)f(-\dfrac{2d}{c}-x)f(−c2d−x) pour obtenir ac\dfrac{a}{c}ca dans chacune des expressions.Remarque : j'ignore si la formule que tu donnes t'est imposée.
Pour démontrer que I(e,g)I(e,g)I(e,g) est centre de symétrie, il y a une autre forume possible à prouver.
Tu peux démontrer que f(e−x)+f(e+x)=2gf(e-x)+f(e+x)=2gf(e−x)+f(e+x)=2g
Je n'ai pas cherché vu que ce n'était pas ta question, mais tu peux essayer ainsi pour voir si "sans astuce" le calcul est abordable.