centre de symetrie et fonction sans valeurs

bonsoir a tous je bloque sur cet exercice

Soit f une fonction homographique, définie sur R privé de $(- d / c)$ par f(x) = $ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}$ avec
$a d - b c$ different de $0$ (ce qui exclut les cas où f est constante).

Montrer que Cf possède une asymptote horizontale et une autre verticale.
Montrer que leur point d’intersection est centre de symétrie de la courbe de f.
pour la question 1 pas de proble on montre facilement que lla droite d'equation $x=−dcx=\frac{-d}{c}$ est AV(asymptote verticale) et que la droite d'equation $y=acy=\frac{a}{c}$ est AH(asymptote horizontale )

pour la question 2 je dois montrer en supposant le point $I (e; g)$ centre de symetrie que
$f (2 e - x) + f (x) = 2 g$ avec les cordonnees respectives de $I(−dc;ac)I(\frac{-d}{c};\frac{a}{c})$

les developpements sont tres longs que je m"embrouille dans mes calculs merci

@loicstephan , bonjour,

Pas passionnant le calcul...

Je te conseille de transformer f(x) utilement, vu le but recherché.

$f(x)=a(x+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}$

Ensuite, petite astuce :

$f(x)=a(x+dc−dc+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{d}{c}-\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}$

$f(x)=a(x+dc)+a(−dc+ba)c(x+dc)f(x)=\dfrac{a(x+\dfrac{d}{c})+a(-\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a})}{c(x+\dfrac{d}{c})}$

En décomposant :

$f(x)=ac+ac(ba−dc)x+dcf(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{c}\dfrac{(\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c})}{x+\dfrac{d}{c}}$

$f(x)=ac+b−adcc(x+dc)f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b-\dfrac{ad}{c}}{c(x+\dfrac{d}{c})}$

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par $c$ :

$f(x)=ac+bc−adc2(x+dc)\boxed{f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c^2(x+\dfrac{d}{c})}}$

Tu appliques cette expression encadrée (sans refaire les calculs) en remplaçant $x$ par $(−2dc−x)(\dfrac{-2d}{c}-x)$ pour obtenir $f(−2dc−x)\boxed{f( \dfrac{-2d}{c}-x)}$

En ajoutant les deux expressions $f (x)$ et $\dfrac{-2d}{c}-x)$ tu obtiendras $2ac\dfrac{2a}{c}$

Bons calculs ! ! !

@mtschoon
merci bien pour l'astuce je me demande aussi si en passant normalement on aboutirait pas a la solution! parce que la trouver cette transformation astucieuse demande bcp d'experience !

@loicstephan , bonjour,

C'est très bien si tu as terminé sans problème.

Je pense que si, en faisant "normalement" , le calcul avait été simple, tu aurais abouti tout-même à la solution...
J'a commencé "normalement" au brouillon mais quand j'ai vu l'état, j'ai réfléchi pour ne pas faire des calculs "bourrins"...
Pour obtenir $2ac\dfrac{2a}{c}$ le mieux était de transformer $f (x)$ et $f(−2dc−x)f(-\dfrac{2d}{c}-x)$ pour obtenir $ac\dfrac{a}{c}$ dans chacune des expressions.

Remarque : j'ignore si la formule que tu donnes t'est imposée.
Pour démontrer que $I (e, g)$ est centre de symétrie, il y a une autre forume possible à prouver.
Tu peux démontrer que $f (e - x) + f (e + x) = 2 g$
Je n'ai pas cherché vu que ce n'était pas ta question, mais tu peux essayer ainsi pour voir si "sans astuce" le calcul est abordable.