suite periodique sans expression de la suite

Soit $U_n)$ la suite définie par ses deux premiers termes $U_0$ et $U_1$ , et la relation de récurrence
$U_{n+2} = U_{n+1} − U_n.$ Montrer que (Un) est périodique.
je sais que une suite est dite periodique si il exite en entier $\geq 1$ tel que $U_{n+k}=U_n$
j'ai essaye de calculer les premier termes pour conjecture j'y arrive pas car ces termes sont fonction d'autre ter j'arrive pas a trouer la periode
merci pour votre aide

Bonjour,

U(2) = U(1) - U(0)
U(3) = U(2) - U(1) = U(1) - (U(0) - U(1) = -U(0)
U(4) = U(3) - U(2) = -U(0) - U(1) + U(0) = -U(1)
U(5) = U(4) - U(3) = -U(1) + U(0)
U(6) = U(5) - U(4) = -U(1) + U(0) + U(1) = U(0)
U(7) = U(6) - U(5) = U(0) + U(1) - U(0) = U(1)

--> U(6) = U(0) et U(7) = U(1)

Et donc ...

U(1) = U(0)-U(2)
U(1)= U(2) - U(3)
U(2) = U(3) -U(4)
U(3) = U(4) - U(5)
U(4) = U(5) -U(6)
U(5) = U(6) -U(7)

essayon un peu de cette maniere!

U(1) = U(0)-U(2)
U(1)= U(2) - U(3)
U(2) = U(3) -U(4)
U(3) = U(4) - U(5)
U(4) = U(5) -U(6)
U(5) = U(6) -U(7)

essayon un peu de cette maniere!

deja a partir de ce que tu as fait je peux deduire que la periode est 2
soit une suite periodique de periode 2

@loicstephan Bonsoir,

La période n'est pas 2.
Ecris les termes dans l'ordre et analyse le résultat.
$U_0=U_0$
$U_1=U_1$
$U_2=U_1-U_0$
$U_3=-U_0$
....

@Noemi

apres calclus j'ai :

$U_0=U_0$
$U_1=U1$
$U2=U1−U_0$
$U_3=−U_0$
$U_4=−U_1$
$U_5=−U_2$
$U_6=U_0$
$U_7=U_2$
$U_8=U_2$
$U_9=−U_0$
$U_10=U_0$
sauf erreur de ma part je deduis une suite periodique de peride 10
merci de m'eclairer

@loicstephan
ou alors un suite periodique de periode 5 je suis embrouille pas les differentes valeurs!

@loicstephan

Tout est dans ma réponse précédente.

J'y ai démontré que U(6) = U(0) et U(7) = U(1) et alors la conclusion est immédiate sur la périodicité.

@loicstephan

Il faudrait écrire les résultats en fonction de $U_0$ et $U_1$ .
$U_7$ et $U_{10}$ sont faux.
Tu dois trouver:
$U_6=U_0$
$U_7=U_1$
$U_8=U_1-U_0=U_2$
....
soit
$U_{n+k}=U_n$ pour $k = . . .$
donc la période ....

Bonjour,

@Black-Jack a conjecturé la période, @Noemi l'a répété, alors, (comme il n'y a jamais deux sans trois, d'après le proverbe), je re-répète en explicitant un peu plus

Il a été trouvé que :
$U_{0+6}=U_0$
$U_{1+6}=U_1$
$U_{2+6}=U_2$
$U_{3+6}=U_3$
...
@loicstephan , avec ces aides, il semble assez facile de conjecturer la période.
Reste à faire une démonstration générale.

Bonjour,

@loicstephan , j'espère que tu as fait la démonstration générale.

Piste éventuelle,

A partir de $U_{n+6}$ , tu appliques la définition de la suite.

$U_{n+6}=U_{n+5}-U_{n+4}$
$U_{n+6}=(U_{n+4}-U_{n+3})-U_{n+4}$
$U_{n+6}=-U_{n+3}$
...
...
...
$U_{n+6}=U_n$

Bons calculs.

@mtschoon
Bonjour il est à présent clair que la période est 6 !
Merci bien

C'est bien ça @loicstephan !

Bon travail, surtout.