encadrement d'une fonction

bonjour;
on a f(x) =1/ $x+1\sqrt{x +1}$
montrer que pour tous x>=0 , x-( $x^2$ /2) <= x/ $x+1\sqrt{x+1}$ <=x
comment je peut répondre à cette question ?

@baraa-skhairi Bonjour,

Le cas $x = 0$ est évident.
pour $x>0x\gt0$ tu peux simplifier l'expression.
soit à montrer que
$1−x2≤1x+1≤11-\dfrac{x}{2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \leq 1$

Etudie chaque inéquation en réduisant au même dénominateur.

@Noemi
désolé , j'ai pas compris , comment je les réduis au même dénominateur

@baraa-skhairi

$1−x2≤1x+1≤11-\dfrac{x}{2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \leq 1$
pour :
$1x+1≤1\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \leq 1$ c'est équivalent à $1x+1≤x+1x+1\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \leq \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$

$1≤x+11\leq \sqrt{x+1}$
comme $x>0x\gt0$ ; $x+1>1x+1\gt1$
...

aa d'accord merci beaucoup

Bonjour,

@baraa-skhairi , une piste éventuelle pour prouver l'inégalité de gauche c'est à dire : $1−x2≤1x+11-\dfrac{x}{2}\le \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$ , pour $x>0x\gt 0$

1er cas $x≥2x\ge 2$ donc $1−x2≤01-\dfrac{x}{2} \le 0$
Vu que $1x+1>0\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\gt 0$ , l'inégalité proposée est vraie.

2ème cas : $0<x<20\lt x\lt 2$ donc $1−x2>01-\dfrac{x}{2} \gt 0$

En multipliant par $2x+12\sqrt{x+1}$ , l'inégalité proposée équivaut à : $(2−x)x+1≤2(2-x)\sqrt{x+1}\le 2$

Les deux membres état positifs, l'élévation au carré est régulière , c'est à dire : $(2−x)2(x+1)≤4(2-x)^2(x+1)\le 4$

Après développement , on obtient, sauf erreur, $x3−3x2+4≤4x^3-3x^2+4\le 4$ , c'est à dire $x3−3x2≤0x^3-3x^2\le 0$ c'est à dire $x2(x−3)≤0x^2(x-3)\le 0$ , c'est à dire $x−3≤0x-3\le 0$ c'est à dire $x≤3x\le 3$

Vu que dans ce cas $0<x<20\lt x\lt 2$ , l'inégalité proposée est vraie .

Bons calculs.

@mtschoon
merci bien

De rien @baraa-skhairi .
A+