suites maths problème


  • Livindiam Livin

    Bonjour !

    Je suis coincée dans un problème sur les suites .

    Je partage dans un premier temps l'énoncé :

    m(n)=m(0) X 1,22^n, avec m(0)=0,6 g

    m est une masse en gramme et n est une heure

    Je cherche à déterminer à quel heure la masse m dépasse 20 kg, donc pour quel n
    *
    Dans un premier temps, j'ai pensé qu'il faut effectué m(n)=20 000g soit 0,6 X 1,22^n = 20 000g

    comment trouver n ? Merci d'avance pour toute aide


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin , bonjour,

    Si j'ai bien lu :
    m(n)=m(0)×(1.22)nm(n)=m(0)\times (1.22)^nm(n)=m(0)×(1.22)n
    Tu as donc une suite géométrique de premier terme m(0)=0.6m(0)=0.6m(0)=0.6 et de raison 1.221.221.22

    m(n)=0.6×(1.22)nm(n)=0.6\times (1.22)^nm(n)=0.6×(1.22)n

    Ton début est bon : 20kg=20000g

    Tu dois donc résoudre : 0.6×(1.22)n≥200000.6\times (1.22)^n\ge 200000.6×(1.22)n20000

    c'est à dire :

    (1.22)n≥200000.6(1.22)^n \ge \dfrac{20000}{0.6}(1.22)n0.620000 <=> (1.22)n≥1000003(1.22)^n\ge \dfrac{100000}{3}(1.22)n3100000 <=> (1.22)n≥33333,3....(1.22)^n\ge 33333,3....(1.22)n33333,3....

    Pour terminer le calcul "mathématiquement", il faudrait prendre le logarithme ( népérien ou décimal ) de chaque membre.

    Comme tu postes en Première, tu ne dois pas connaître.

    Tu dois prendre ta calculette ( ou un tableur )

    La suite (m(n))(m(n))(m(n)) est croissante (car raison supérieure à 1 et premier terme positif)

    Sauf erreur, tu dois trouver :

    (1.22)52≈30953,6(1.22)^{52}\approx 30953,6(1.22)5230953,6
    (1.22)53≈37763.4(1.22)^{53}\approx 37763.4(1.22)5337763.4

    Donc n≥53n\ge 53n53

    Vérifie tout ça.


  • Livindiam Livin

    @mtschoon
    Bonsoir

    Si j'ai bien compris, aucun calcul à proprement parler en Première permet de déterminer n ? Je dois "simplement" chercher dans ma calculatrice à l'aide d'un tableau la valeur correspondante ? Merci pour l'aide


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin

    Effectivement, si tu ne connais pas les logarithmes (qui s'étudient en Terminale) , tu n'as pas le choix...

    Je t'indique, pour information, ce que tu pourrais faire en connaissant les logarithmes népériens (notés ln) :

    nln(1.22)≥ln(1000003)nln(1.22)\ge ln(\dfrac{100000}{3})nln(1.22)ln(3100000) d'où :
    n≥ln(1000003)ln(1.22)n\ge \dfrac{ ln(\dfrac{100000}{3})}{ln(1.22)}nln(1.22)ln(3100000)

    La calculette te donnerait n≥52.3725...n\ge 52.3725...n52.3725..., d'où
    n≥53n\ge 53n53


  • Livindiam Livin

    @mtschoon Merci !


  • mtschoon

    De rien , @Livindiam-Livin .
    A+