Equation différentielle

Bonjour,

Je galère sur un DM et je n'arrive à avancer.

Il est dit que l'équation différentielle est :
$y′=1−t1+yy'=\frac{1-t}{1+y}$
avec $y (0) = 0$
Il est supposé que la solution prend la forme :
$at2+bt+c+d\sqrt{at^2+bt+c}+d$
et donc la fonction $U(t)=at2+bt+c+d\mathcal{U}(t) = \sqrt{a t^2 + b t + c} +d$

Il me demande calculer la dérivé qui est donc:
$U′(t)=2at+b2t(at+b)+c\mathcal{U}'(t)=\frac{2at+b}{2\sqrt{t(at+b)+c}}$

Et maintenant c'est là que ça bloque.
Il faut montrer que l'équation $y′=1−t1+yy'=\frac{1-t}{1+y}$ peut être écrite sous la
forme d'une relation de la forme:
$\sqrt{at^2 + bt + c} = 0$
où $A$ , $B$ , $C$ et $D$ dépendent de $a$ , $b$ , $c$ et $d$

Et ensuite déterminer, à l'aide de la condition initiale $y (0) = 0$ , les valeurs de $a$ , $b$ , $c$ et $d$

Indication: la relation (2) doit être identiquement nulle, on a donc à résoudre un système d'équations $A = B = C = D = 0$ .

Merci pour votre aide et vos explications.

Marc

@marclg Bonjour,

A partir de $y′=1−t1+yy'=\dfrac{1-t}{1+y}$ ,écris l'équation
$y^{'} (1 + y) - (1 - t) = 0$ en remplaçant $y^{'}$ et $y$ par leur expression.

@Noemi ok pour $y^{'}$ mais quelle est l'expression de $y$ ?
c'est $at2+bt+c+d\sqrt{a t^2 + b t + c} +d$ ?

@marclg

$y (t)$ correspond à $u (t)$ .

@Noemi
ok donc ça doit donner ça?
$y^{'} (1 + y) - (1 - t) = 0$
$1−t1+y(1+(at2+bt+c)+d)−(1−t)=0\frac{1-t}{1+y}(1+\sqrt(at^2+bt+c)+d)-(1-t)=0$
$1−t1+(at2+bt+c)+d(1+(at2+bt+c)+d)−(1−t)=0\frac{1-t}{1+\sqrt(at^2+bt+c)+d}(1+\sqrt(at^2+bt+c)+d)-(1-t)=0$
$(1−t)(1+(at2+bt+c)+d)1+(at2+bt+c)+d−(1−t)=0\frac{(1-t)(1+\sqrt(at^2+bt+c)+d)}{1+\sqrt(at^2+bt+c)+d}-(1-t)=0$

J'ai un peu de mal à déméler tout ça

Bonjour,

C'est vrai que ces calculs sont un peu lourds...

@marclg , je t'indique comment j'ai pratiqué :

Dès le début, j'ai remplacé y et y' par leurs expressions en fonction de t :
$2at+b2at2+by+c=1−t1+at2+bt+c+d\dfrac{2at+b}{2\sqrt{at^2+by+c}}=\dfrac{1-t}{1+\sqrt{at^2+bt+c}+d}$

En faisant les produits en croix ( pour me "débarrasser" des dénominateurs)

$(2at+b)[1+at2+bt+c+d]=2at2+bt+c(1−t)(2at+b)[1+\sqrt{at^2+bt+c}+d]=2\sqrt{at^2+bt+c}(1-t)$

En transposant :

$(2at+b)[1+at2+bt+c+d]−2at2+bt+c(1−t)=0(2at+b)[1+\sqrt{at^2+bt+c}+d]-2\sqrt{at^2+bt+c}(1-t)=0$

Ensuite, on regroupe pour obtenir la forme voulue par l'énoncé.

Sauf erreur, tu dois trouver :
$A = 2 a (1 + d)$
$B = b (1 + d)$
$C = 2 a + 2$
$D = b - 2$

A vérifier, bien sûr.

Bonjour,

Alternative (pas par la méthode demandée)
Pas connue en TerminaleS ?

Equation différentielle à variables séparables :

y' = (1-t)/(1+y)
dy/dt = (1-t)/(1+y)
(1+y) dy = (1-t) dt
On intègre -->
y + y²/2 + K = t - t²/2
y(0) = 0 ---> K = 0
y + y²/2 = t - t²/2
y² + 2y + t² - 2t = 0
Equation du second degré en y -->

$\pm\sqrt{1 - t^2 + 2t}$
et avec y(0) = 0, la seule solution possible est :

$\sqrt{- t^2 + 2t + 1}$

Sauf erreur, tu devrais trouver la même chose par la méthode préconisée.

Bonjour,

Oui, tout à fait !

Avec la méthode demandée,

$A = 0, B = 0, C = 0, D = 0$ permettent de trouver :
$a = - 1, b = 2, d = - 1$
et ensuite $U (0) = 0$ permet de trouver $c = 1$

d'où :
$y=−t2+2t+1−1y=\sqrt{-t^2+2t+1}-1$

@marclg , bons calculs et reposte si besoin .

Bonjour,

Je n'arrive pas trop à regrouper la formule :
$(2at+b)[1+at2+bt+c+d]−2at2+bt+c(1−t)=0(2at+b)[1+\sqrt{at^2+bt+c}+d]-2\sqrt{at^2+bt+c}(1-t)=0$
Mais si je suis ta logique je devrais trouver:
$((2a(1+d)t+b(1+d))+((2a+2t)+(b−2))at2+bt+c=0((2a(1+d)t+b(1+d))+((2a+2t)+(b-2))\sqrt{at^2+bt+c}=0$
Ce qui me confirme la formule proposé
$(At+B)+(Ct+D)at2+bt+c(At+B)+(Ct+D)\sqrt{at^2+bt+c}$

Donc si A=B=C=D=0

Alors
$D = b - 2 = 0$ => $b = - 2$
$C = 2 a + 2 = 0$ => $a = - 1$
$A = 2 a (1 + d) = 0$ => $d = - 1$
Pour avoir $U (0) = 0$ il faut que $c + d = 0$ => $c - 1 = 0$ => $C = 1$

ça me semble plutôt logique hormis le regroupement de la formule.

Ce message a été supprimé !

@marclg , bonjour,

Je regarde tes derniers calculs.

Il y a une erreur du signe sur $b$

$D = b - 2 = 0$ => $b=2\boxed{b=2}$ (et non $b = - 2$ )

$a=−1\boxed{a=-1}$ et $d=−1\boxed{d=-1}$ sont bons

A la dernière ligne $c - 1 = 0$ => $c=1\boxed{c=1}$

ce qui te donne les réponses proposées.

@marclg

Le regroupement semble te poser problème.

Je te le détaille à partir de la dernière ligne que je t'ai proposée

$(2at+b)[1+at2+bt+c+d]−2at2+bt+c(1−t)=0(2at+b)[1+\sqrt{at^2+bt+c}+d]-2\sqrt{at^2+bt+c}(1-t)=0$

Je développe ( bien que "voir" me semble plus simple que tout écrire !) :

$(2at+b)+(2at+b)at2+bt+c+d(2at+b)+at2+bt+c(−2+2t)=0(2at+b)+(2at+b)\sqrt{at^2+bt+c}+d(2at+b)+\sqrt{at^2+bt+c}(-2+2t)=0$

$(2at+b)+d(2at+b)+(2at+b)at2+bt+c++at2+bt+c(−2+2t)=0(2at+b)+d(2at+b)+(2at+b)\sqrt{at^2+bt+c}++\sqrt{at^2+bt+c}(-2+2t)=0$

$(2at+b)(1+d)+at2+bt+c[(2at+b)+(−2+2t)]=0(2at+b)(1+d)+\sqrt{at^2+bt+c}[(2at+b)+(-2+2t)]=0$

$2at(1+d)+b(1+d)+at2+bt+c[(2at+b)−2+2t)]=02at(1+d)+b(1+d)+\sqrt{at^2+bt+c}[(2at+b)-2+2t)]=0$

$t2a(1+d)+b(1+d)+at2+bt+c[(2at+b)−2+2t)]=0t2a(1+d)+b(1+d)+\sqrt{at^2+bt+c}[(2at+b)-2+2t)]=0$

$t[2a(1+d)]+b(1+d)+at2+bt+c[t(2a+2)+(b−2)]=0t\biggr[\boxed{2a(1+d)}\biggr]+\boxed{b(1+d)}+\sqrt{at^2+bt+c}\biggr[t\boxed{(2a+2)}+\boxed{(b-2)}\biggr]=0$

Refais cela tranquillement, car je ne peux pas détailler d'avantage...

@mtschoon Oui merci je comprend mieux c'est vraiment le démarrage qui me pose problème pour avancer par la suite.

Je dois par la suite appliquer le schéma d'intégration d'Euler explicite sur la fonction.
Comme la fonction à la notion de temps, celle ci est donc:
$uk+1=uk+Δtf(tk,uk)u_{k + 1} = u_k + \Delta t f(t_k, u_k)$

où $f (t, u)$ est définie par:

$\frac{1 - t}{1 + u}$

Est ce que mon schéma d'intégration est?

$uk+1=uk+Δtf(u)u_{k+1}=u k+\Delta t f(u)$
$tk+1=tk+Δtf(t)t_{k+1}=t k +\Delta tf(t)$

Merci

@marclg , je te mets un lien car ce que tu indiques me laisse perplexe Je ne suis pas spécialiste des approches du calcul intégral, mais ces $f (u)$ et $f (t)$ que tu écris sont très bizarres...car $f$ est une fonction de $u$ et $t$

Voir ici :
https://cassiopee.g-eau.fr/assets/docs/fr/methodes_numeriques/euler_explicite.html

Consulte ce lien et ton cours.

J'aurais démarré par :

$tk+1=tk+Δtt_{k+1}=t_k+\Delta t$
$f(t,u)U_{k+1}=U_k+\Delta t\ f(t,u)$