Application à la dérivation

[julielatortue]

Bonjour pourriez vous m’aider pour cet exercice assez conséquent ?

Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ à sa ferme F. Il se trouve à 3 kilomètres de la route qui mène à la ferme, et à 5 kilomètres de cette dernière , comme indiqué sur le schéma.
Le fermier cherche à économiser sa consommation de carburant:
Il sait que sa consommation est:
-d’un litre de carburant par kilomètre parcouru sur la route;
-de K litres de carburant par kilomètre parcouru à travers champs ( le facteur K, compris entre 1 et 2, dépend de l’état du terrain: plus le terrain est accidenté plus K est grand)

On note fk la fonction consommation de carburant pour 0 inférieur ou égal à x et x inférieur ou égal à 4; et on note x0 l’abscisse du point où fk admet une valeur minimale

1. Déterminer fk (x) en fonction de K.
2. Calculer fk(4) et fk(0) en fonction de k. Interpréter ces valeurs dans le cadre du problème.
3. Si K=1, quelle solution évidente doit adopter le fermier ?
4. On suppose que K=2, c’est à dire que la consommation à travers champs est le double de celle sur la route.
   a) Démonter que f2(x) est inférieur ou égal à 3 racine de 3 + 4
   b) en déduire la valeur de x0 correspondante
5. a) À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau:
   b) le fermier qui a un grand sens pratique, pense que si K est inférieur à un certain seuil K0, il n’est pas utile de rejoindre la route et que couper à travers champs n’est pas plus cher. Que pouvez-vous lui répondre?

Merci beaucoup

[Noemi]

@julielatortue Bonjour,

Calcule $CM$ en utilisant la propriété de Pythagore puis écris l'expression de la fonction.

[julielatortue]

@Noemi
Bonjour, je ne comprends en quoi faire ce calcul pourrait m’aider, je suis perdue, pourriez vous m’expliquer s’il vous plaît ?

[Noemi]

@julielatortue

En partant de la variable $x$, le trajet effectué par l'agriculteur correspond à la distance $CM+MF$. Le point $M$ se déplaçant sur la route.
C'est à partir des éléments de cette distance que l'on peut déterminer la fonction demandée.

[julielatortue]

Comme ceci ?

[Black-Jack]

@julielatortue a dit dans Application à la dérivation :

Comme ceci ?

Aie aie aie ...

CM² = HC² + HM²
CM² = 3² + x²
$CM=\sqrt{9+x^2}$

MF = HF - HM
$MF=4-x$

...

[Noemi]

@julielatortue

Non,

Tu dois d'abord démontrer que le triangle $CHF$ est rectangle en $H$ en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

Tu utilises ensuite le théorème de Pythagore pour le triangle $CHM$.
$C{M}^2=C{H}^2+H{M}^2$

[Noemi]

@julielatortue

Tu as obtenu la réponse pour $CM$ et $MF$, tu peux en déduire la fonction :
$f_K(x)=K\times CM+MF=K\sqrt{x^2+9}+4-x$

Calcule $f_K(4)$ et $f_K(0)$ et interprète les résultats.