Math expert cosinus et sinus

[RK]

Bonjour pouvez-vous m’aider svp
Soit x un nombre réel.

1. En écrivant que 3x= 2x+x, démontrer que :
   cos(3x)= 4cos^3 (x)-3cos(x).
2. Prouver de même que :
   sin(3x)=-4sin^3(x)+3sin(x).
3. a. En déduire que cos(pie/9) est solution de l'équation : 4x^3 - 3x- =0.
   b. Démontrer que cette équation a exactement trois solutions dans R.
   c. À l'aide de la çalculatrice, trouver une valeur appro- chée à 10^-3 de cos(pie/9)
4. Trouver une valeur approchée à 10^-3 de sin(pie/9)
   mercii

Pour la première question j’ai commencer en utilisant les formules de duplication.
Cos (3x)= cos (2x+x)
= cos(2x) * cos(x) - sin (2x)* sin(x)
=2cos^2(x)-1*cos(x)-2sin(x)*cos(x)*sin(x)
= 2cos^3 (x) -1 -2sin^2 (x) * cos(x)
Et la je bloque si vous pouvez m’aider svppp Mercii

[mtschoon]

@RK , bonjour,

Tes expressions manquent de parenthèses...il faudra les compléter sur ta copie...

Pour terminer ta première question, remplace $si{n}^2(x)$ par $1-co{s}^2(x)$ vu que tu connais la formule fondamentale :
$si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$

Applique le même principe pour la question 2.

Pour la 3a), pense à poser $x=\frac{\pi }{9}$ et à utiliser la formule trouvée pour $cos(3x)$

Remarque : l'équation que tu donnes est incomplète.

Reposte si besoin.

[RK]

@mtschoon
Donc
Cos (3x)= cos (2x+x)
= cos(2x) * cos(x) - sin (2x)* sin(x)
=2cos^2(x)-1*cos(x)-2sin(x)*cos(x)*sin(x)
= 2cos^3 (x) -1 -2sin^2 (x) * cos(x)
= 2 cos^3(x)-1-(2-2cos^2(x) cos(x))
= 2 cos^3(x)-1-2+2cos^2(x) cos(x))
= 2 cos^3(x)-3 +2cos^2(x) cos(x))
= ??
Et pour l’équation oui j’ai oublié de finir c’est 4x^3-3x-1/2=0

[Noemi]

@RK Bonjour,

Il manque des parenthèses ou crochets
$cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=$
$[2co{s}^2(x)-1]cos(x)-2si{n}^2(x)cos(x)=$
$2co{s}^3(x)-cos(x)-2[1-co{s}^2(x)]cos(x)=$
$2co{s}^3(x)-cos(x)-2cos(x)+2co{s}^3(x)=.....$

[RK]

@Noemi
Merciii
cos(2x)cos(x)−sin(2x)sin(x)=
[2cos2(x)−1]cos(x)−2sin2(x)cos(x)=[2cos^2(x)-1]cos(x)-2sin^2(x)cos(x)= [2cos
2(x)−1]cos(x)−2sin
2
(x)cos(x)=
2cos3(x)−cos(x)−2[1−cos2(x)]cos(x)=2cos^3(x)-cos(x)-2[1-cos^2(x)]cos(x)=2cos
3
(x)−cos(x)−2[1−cos
2
(x)]cos(x)=
2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x)=.....2cos^3(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos^3(x)= .....2cos
3
(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos
3
(x)= 4cos^4(x)-3cos(x)

[RK]

@RK
C’est bon j’ai réussi la question 2
Pouvez-vous me donner des indications pour la 3a svp

[mtschoon]

@RK , je t'ai déjà donné des pistes pour la 3)a)

Revois ma réponse.

Tu sais que $cos(3x)=4co{s}^3(x)-3cos(x)$

Tu choisis $x=\frac{\pi }{9}$, d'où :

$cos(\frac{\pi }{3})$=$4co{s}^3(\frac{\pi }{9})-3cos(\frac{\pi }{9})$

Tu sais que $cos(\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$, d'où

$4co{s}^3(\frac{\pi }{9})-3cos(\frac{\pi }{9})=\frac{1}{2}$

$4co{s}^3(\frac{\pi }{9})-3cos(\frac{\pi }{9})-\frac{1}{2}=0$

conclusion :

$cos(\frac{\pi }{9})$ est solution de : $4x^3-3x-\frac{1}{2}=0$

Revois tout ça et essaie de poursuivre.

[RK]

@mtschoon
Merci beaucoup j’ai compris

[mtschoon]

@RK , c'est bien.

Je te donne une piste pour la 3)b)

Tu peux poser $f(x)=4x^3-3x-\frac{1}{2}$

Tu étudies les variations de f.

Avec le TVI (utilisé sur 3 intervalles) , tu pourras prouver que l'équation a 3 solutions, c'est à dire qu'il y a 3 valeurs réelles de x telles que $f(x)=0$

[RK]

@mtschoon
F’(x)=12x^2-3
12x^2-3 >0
Donc f est croissante

[mtschoon]

@RK ,

Oui pour $f^{\prime }(x)=12x^2-3$ mais Non pour $f^{\prime }(x)>0$

Tu peux factoriser $f^{\prime }(x)$
$f^{\prime }(x)=3(4x^2-1)=3(2x-1)(2x+1)$

$f^{\prime }(x)=0$ <=> $2x-1=0$ ou $2x+1=0$ <=> $x=\frac{1}{2}$ ou $x=-\frac{1}{2}$

Tu continues.

[mtschoon]

@RK ,

Voici le tableau de variation que tu dois trouver.
Tout est à prouver, bien sûr ! ! !

[mtschoon]

Illustration graphique.

$x_A,x_B,x_C$ sont les solutions de $f(x)=0$
$x_A<0$, $x_B<0$, $x_C>0$
Vu que $cos(\frac{\pi }{9})>0$ , on déduit $cos(\frac{\pi }{9})=x_C$
A la calculette : $x_C\approx 0.934$

[RK]

@mtschoon

[RK]

@mtschoon
Mercii
Jài réussi à trouver les mêmes réponses
Et après il fait que j’utilise le TVI ?
Si oui je met
Sur ]-infinie;+infinie[ f est continue et f est croissante sur l’intervalle -infinie -1/2 ouvert
f est décroissante sur l’intervalle -1/2;1/2 ouvert et
f est croissante sur 1/2;+infinie ouvert

[RK]

@RK
Alpha 1 appartient a -infinie; 1/2
Alpha 2 appartient a 1/2;-3/2
Alpha 3 appartient a -3/2 ; +infinie
Les trois intervalles ouvert
Donc d’après le TVI, l’équation admet trois solution alpha 1, alpha 2, alpha 3 sur -infinie; +infinie ouvert.

[mtschoon]

@RK ,

Oui, c'est bon, à condition de préciser "strictement croissante", "strictement décroissante" , pour justifier l'unicité de chaque solution par intervalle.

[RK]

@mtschoon
D’accord
Merci beaucoup

[mtschoon]

De rien @RK et bon travail .