Math experte : ordre d’un élément

[perplexus]

Bonjour, bonsoir !
Je suis l’option math experte et mon professeur m’a donné un DM. J’ai fait la première partie assez aisément mais je sèche sur la deuxième

Je comprend comment cela marche mais cela me parait tellement évident que je ne vois pas comment démontrer la première question.
Pouvez vous m’aider ?

Lien vers image supprimé par la modération.

[mtschoon]

@perplexus , bonsoir,

Ici, les scans d'énoncés ne sont pas autorisés (même en lien).
Regarde les consignes à lire avant de poster :
https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

Alors, si tu as besoin d'aide, écris l'énoncé.

[Noemi]

@perplexus Bonsoir,

Le scan ou un lien vers l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les scans de graphiques, schémas ou figures sont autorisés.
Ecris l'énoncé de l'exercice et tu obtiendras des pistes de résolution.

Le lien vers l'image va être supprimé.

[perplexus]

Merci, je n’avais pas lu, je suis désolé.
Voici l’énoncé :
Soit a et n deux entiers naturels non nuls. On appelle ordre de a modulo n le plus petit entier naturel s non nul, tel que $a^s\equiv 1[n]$

1. Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier m tel que $a^m\equiv 1[n]$
   a) Démontrer que s existe. On pourra admettre que toute partie non vide de N* admet un plus petit élément.
   b) En effectuent la division euclidienne de m par s, prouver que s divise m

Relation écrite en Latex par la modération.

[mtschoon]

@perplexus , bonjour,

Quelques pistes,

Pour la 1)a), utilise l'aide que l'énoncé te donne.

Soit E l'ensemble des naturels p de $N^{\ast }$ tels que $a^p\equiv 1[n]$
Cet ensemble est une partie non vide de vu que $m\in E$

Toute partie non vide de $N^{\ast }$ admet un plus petit élément $p_0$
Donc E admet un plus petit élément $p_0$ , c'est à dire : il existe un plus petit élément $p_0$ tel que $a^{p_0}\equiv 1[n]$
Conclusion : $\boxed{s=p_0}$

Pour la 1)b)

Division euclidienne de $m$ :
$m=qs+r$ avec $r\in${$0,1,...,s-1$}

$1\equiv a^m\equiv a^{qs+r}\equiv (a^s{)}^q.a^r$ $[n]$

Vu que $a^s\equiv 1[n]$, $(a^s{)}^q\equiv 1^q\equiv 1[n]$

Donc, $1\equiv a^r[n]$

C'est impossible de trouver un exposant r non nul tel que $a^r\equiv 1[n]$ avec $r<s$, vu que $s$ est le plus petit élément tel que $a^s\equiv 1[n]$,

Conclusion :
$r=0$
$m=qs$ donc $\boxed{s|m}$

Regarde tout ça de près et améliore les explications.

[mtschoon]

Si tu veux te familiariser avec cette notion" d'ordre d'un élément", tu peux éventuellement consulter cette vidéo :

https://www.youtube.com/watch?v=d-Eatx8eq-4

[perplexus]

Merci beaucoup, j’ai fais l’exercice de la vidéo ensuite j’ai repris mon DM et j’ai réussi à le faire, je devrais faire la suite sans trop de problème.
Bonne continuation.

[mtschoon]

De rien @perplexus et bonne continuation à toi.

[perplexus]

Bonjour,
J’ai presque fini l’exercice, il me reste une question, la voici :
On pose A = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n +5^n + 6^n. Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles A, est divisible par 7 ?
Je pense que oui, il suffit que tous les nombres aient pour reste 1 sauf un qui aurait pour reste 2.

On a l’ordre de 1 = 1, l’ordre 2 = 3, l’ordre 3 = 6, l’ordre 4 = 3, l’ordre 5 = 6, l’ordre 6 = 2 (modulo 7).

Donc si n = 1 x 3 x 6 x 3 x 6 x 2, on aurait A congru à 6 modulo 7.

Si on ne prends pas l’ordre de 2 qui est égal à 3 mais si on prends 1 tel que le reste de 2^1 est egal à 2 par la divison euclidienne par 7.

On obtiendrait n = 1 x 1 x 6 x 3 x 6 x 2 et A serait congru à 0 modulo 7.
Avec un raisonnement similaire on peut trouver d’autre valeur de n, ainsi il existe des valeurs de n tel que 7 divise A.

Mon raisonnement est-t-il juste ? Cela suffit à la question demandé ? N’hésiter pas à me demander à approfondir si cela n’est pas claire.

[mtschoon]

@perplexus , j'ai seulement regardé ta question :
On pose A = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n +5^n + 6^n.
Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles A est divisible par 7 ?

Effectivement, la réponse est Oui
Donc, pour répondre, une valeur de n qui convient suffit.

Pour $n=1$, tu trouves $A=21$ (somme des 6 premiers naturels non nuls ) donc $7|A$

Si tu prends $n=2$ ou $3$ ou $4$ ou $5$, ça va aussi.

[perplexus]

Effectivement c’est beaucoup plus simple ! On appelle ça l’art de compliquer les choses pour rien, sinon se serait trop bref, moi je veux savourer.
Merci en tout cas de m’avoir ramener sur le droit chemin.

[mtschoon]

De rien@perplexus ,

Peut-être que cette toute dernière question était la conséquence de l'avant-dernière question, ce qui lui donnait tout son l'intérêt.
Evidemment, prise séparément, elle était un peu ..."faible"...

Bon travail et bonne semaine.