Étudier une simulation

[RK]

Bonjour pouvez-vous m’aider svp
Je bloque sur deux exercices
Voici le premier
Mercii.
Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l’air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n’est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0;1[ par : f(x)=b x+2ln(1−x) où b est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, x est l’abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux sont exprimées en mètres.

1. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0;1[. On note f ' sa fonction dérivée.
   On admet que la fonction f possède un maximum sur l’intervalle [0;1[ et que pour tout réel de l’intervalle
   [0;1[: f'(x)=−bx+b−2. 1−x
   Montrer que le maximum de la fonction f est égal à b−2+2ln(b2).
2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.
3. Dans cette question, on choisit b=5,69 .
   L’angle de tir θ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné-ci dessus.
   Donner une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle θ .

[Noemi]

@RK Bonjour,

L'écriture de la dérivée est à revoir.
Je suppose que tu as voulu écrire :
$f^{\prime }(x)=\frac{-bx+b-2}{1-x}$
Résous $f^{\prime }(x)=0$ et étudie le signe de la dérivée.

[RK]

@Noemi
Oui je le suis trompé
Donc pour f(x)=0 j’ai trouvé x=b+2/b
Et pour le signe j’ai fait f’(x)>0 <=> x<b+2/b

[Noemi]

@RK

Une erreur de signe :
$bx=b-2$ soit $x=\frac{b-2}{b}$
A partir de l'étude du signe de la dérivée ou la construction du tableau de variations, montre que la fonction admet un maximum.

[RK]

@Noemi
Donc dans le tableau de variation f(x) est croissante sur [0;b-2/b[ et décroissante sur ]b-2/b;1[
Je calcule f(0) et f(b-2/b) et la limite de f(x) en 1

[RK]

@RK
Et le maximum sera f(b-2/b) ?

[Noemi]

@RK

Oui

[RK]

@Noemi
Mercii
Et pour la question 2 j’ai fait b-2+2ln(2/b) <ou= 1,6
<=> b<ou= 3,6 -2ln(2/b)
Mais je ne sais pas comment continuer

[Noemi]

@RK

Tu peux utiliser la relation $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
puis étudier la fonction de variable $b$ .

[RK]

@Noemi
Donc b<ou= 3,6+2ln(2/b)
<=> -b^2 +b +0,4 <ou= 0

[RK]

@RK
J’utilise le discriminant et je trouve deux solutions :
X1= -0,3
X2=1,3

[Noemi]

@RK

Tu ne peux pas utiliser le discriminant car l'équation n'est pas une équation du second degré.

[RK]

@Noemi
Alors pouvez-vous m’indiquer comment faire svp

[Noemi]

@RK

J'ai indiqué une piste.
$b-2+2ln(\frac{2}{b})\le 1,6$
$b-2+2ln(2)-2ln(b)\le 1,6$
$b-2ln(b)\le 1,6+2-2ln(2)$

Etudie la fonction $f(b)=b-2ln(b)$

[RK]

@Noemi
Merci
Quand vous dite étudie la fonction je dois etidier la dérivée ?

[Noemi]

@RK

Oui et dresser le tableau de variations et déterminer le domaine pour lequel cette fonction est inférieure ou égale à $1,6+2-2ln(2)=...$

[RK]

@Noemi
F’(b) = b-2/b

[RK]

@RK
b-2/b >ou= 0

[Noemi]

@RK

La dérivée est $f^{\prime }(b)=1-\frac{2}{b}$

[RK]

@Noemi
Oupss je me suis trompé Mercii
Et après je fais 1-(2/b) >ou= 0 ?

[Noemi]

@RK

Oui fais le tableau de variations.

[RK]

@Noemi
Sur 0; 1-(2/b) ouvert, f(b) est décroissante
Sur 1-(2/b); 1 ouvert f(b) est croissante

[Noemi]

@RK

Tu n'as pas résolu $f^{\prime }(b)=0$ ?, la variable est $b$.
Cherche les limites.

[RK]

@Noemi
F’(b)=0 <=> b=-1/2

[Noemi]

@RK

Non
$1-\frac{2}{b}=0$
$\frac{2}{b}=1$, donne $b=2$.

[RK]

@Noemi
Vous êtes passez de 1-2/b a 1-b/2 ?

[Noemi]

@RK

Exact, j'ai rectifié.

[RK]

@Noemi
D’accord
Et la je dois calculer les limites de f(b) en 0 et + l’infini ?

[Noemi]

@RK

Oui

[RK]

@Noemi
Vers 0 la limite est + infinie
Vers + infinie la limite est moins l’infini

[Noemi]

@RK

Vers $+\infty$, la limite est $+\infty$.

[RK]

@Noemi
D’accord et après je fait le tableau de variation de 0 à +infinie et entre les deux je met 2
De 0 a 2 f est décroissante et de 2 à + infinie f est croissante

[Noemi]

@RK

Oui,

Puis tu cherches dans quel cas :
$b-2ln(b)\le 1,6+2-2ln(2)$

[RK]

@Noemi
J’ai pas compris

[Noemi]

@RK

Quelles sont les solutions de l'équation $f(b)=1,6+2-2ln(2)=2,213....$

[RK]

@Noemi
-b^2 + b -7,6

[Noemi]

@RK

Cherche une valeur approchée à l'aide de la calculatrice.

[RK]

@Noemi
En utilisant alpha ?

[Noemi]

@RK

Tu cherches les valeurs de $b$ telles que $f(b)=2,213$.

[RK]

@Noemi
Pourquoi 2,213 ?

[Noemi]

@RK
Tu dois résoudre : $f(b)=1,6+2-2ln(2)=2,213....$

[RK]

@Noemi
Donc b−2ln(b)≤1,6+2−2ln(2)
<=> b−2ln(b) ≤ 2,213

[RK]

@RK
En fait je n’arrive pas à comprendre comment utiliser ces informations pour répondre à la question

[Noemi]

@RK
Traces sur la calculatrice la représentation graphique de
$g(x)=x-2ln(x)$, puis la droite d'équation $y=2,213$ Ce que l'on cherche c'est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est en dessous de la droite.